Regolarità di una curva in coordinate polari

[and1991]

ciao ragazzi sto diventando matto.Sul mio libro di analisi II(Marcellini,Sbordone,Fusco) e anche dagli appunti della prof. quando considera una curva in coordinate polari ad esempio $p=p(theta)$ con $(theta0)<=theta<=theta1$ e ne va a verificare la regolarità mi dice che se la funzione $p(theta)$ è di classe c1 si verifica facilmente che la condizione di regolarità è $(p(theta))^2+(p'(theta))^2>0$. Ma la condizione di regolarità non è $(x'(t))^2+(y'(t))^2>0$?Le componenti x e y della funzione sono $x(theta)=p(theta)cos theta$,$y(theta)=p(theta)sen theta$.In sostanza non capisco quella condizione di regolarità come si ottiene...grazie

[enr87]

la definizione che ho studiato io diceva che una curva è regolare se è C1 e la derivata è diversa da 0. non mi pare che la prima disequazione rispetti la definizione di regolarità, nessuno vieta che la derivata sia uguale a 0. sei sicuro non fosse riferita ad un esempio specifico?

[and1991]

scusami ho scritto male per essere regolare una curva deve accadere che il vettore tangente sia diverso da 0 cioè le derivate delle equazioni della curva non devono essere simultaneamente nulle nello stesso punto.

[and1991]

hm non penso che sia riferito solo a quell'esempio perchè mi fa lo stesso anche alla spirale di archimede e in tutti gli esercizi sul calcolo della lunghezza di una curva quando usa le coordinate polari mi compare sotto al radicando quella condizione li.quello che non capisco è come si ottiene,perchè uno derivato e l'altro no?

[Antimius]

Sviluppa le derivate di $x(\theta)$ e $y(\theta)$ e vedi cosa ti viene.

[dissonance]

Perché la condizione di regolarità "vera" è in coordinate cartesiane: $(x'(t))^2+(y'(t))^2 >0$.

Se tu esprimi una curva in coordinate polari, mediante l'equazione

$rho=rho(theta)$,

stai assegnando la curva in coordinate cartesiane

${(x(theta)=rho(theta)cos(theta)), (y(theta)=rho(theta)sin(theta)):}$

e la condizione di regolarità è $[(d(rho(theta)cos(theta)))/(d theta)]^2+[(d(rho(theta)sin(theta)))/(d theta)]^2>0$. Fai i conti e vedrai che ti uscirà la stessa condizione del libro.

[EDIT] Che poi questa è la stessa cosa che dice Antimius!

[and1991]

grazie per le risposte.Ho fatto i conti mi viene $rho(theta)^2sen^2(theta)+ rho(theta)^2cos^2(theta)$ Ho sbagliato a derivare?Perchè non mi esce proprio quello che sta sul libro

[enr87]

eh, però ti dimentichi la derivata di $rho$ rispetto a $theta$

[and1991]

ah quindi non è costante..

[and1991]

risolto, grazie a tutti!