Regolarità di Sen(n) ...dubbio

[Gmork]

Allora, dai limiti notevoli si sa che se [tex]lima_n=0[/tex] allora [tex]lim \sin{a_n}=0[/tex]. Ma se invece [tex]a_n[/tex] diverge, che succede? La successione [tex]\sin{a_n}[/tex] diventa irregolare?

Lo chiedo perchè ho assistito ad un esempio in cui c'era da calcolare :

[tex]lim \frac{(n+1)*\sin{n^2}}{n^2}[/tex] in cui qualcuno sarebbe portato a vedere il limite notevole. Invece il prof ha fatto la seguente osservazione: [tex]\sin{n^2}[/tex] è irregolare ma limitata ed il prodotto di un infinitesimo (quale è [tex]\frac{n+1}{n^2}[/tex] ) per una limitata è ancora un infinitesimo.
Volevo allora chiedere se qualcuno mi può chiarire quando la successione col seno è irregolare.

Grazie

[dissonance]

Volevo allora chiedere se qualcuno mi può chiarire quando la successione col seno è irregolare.

E' una domanda non banale. Mi pare che ci sia la risposta (o almeno una risposta parziale) nell'ultimo capitolo del primo volume del libro di esercizi di Marcellini e Sbordone. $sin n$, $sin n^2$ sono irregolari, ma non è immediato dimostrarlo.

Tieni presente che spesso non è necessario sapere se queste successioni sono regolari o meno. Sicuramente si tratta di successioni limitate, anzi più precisamente $| sin a_n |<= 1$, e questo basta a trattarle in molti casi come ad esempio il limite in questione. Anzi, il risultato che hai ottenuto sarebbe stato vero anche se invece di $sin n^2$ avessi avuto $sin a_n$, dove $a_n$ è una successione qualunque.

[gugo82]

Non si può dire in generale quando [tex](\sin a_n)[/tex] sia regolare se [tex](a_n)[/tex] diverge.

Ad esempio, se [tex]a_n=\frac{\pi}{2} +2n\pi[/tex] allora [tex]\sin a_n=1[/tex] e c'è convergenza.
D'altra parte, se [tex]a_n=\frac{\pi}{2} +n\pi[/tex] allora:

[tex]\sin a_n =\begin{cases} 1 & ,\text{ se $n$ è pari} \\
-1 & ,\text{ se $n$ è dispari} \end{cases}[/tex]

e la successione è irregolare ed ha solo due punti limite (cioè [tex]\pm 1[/tex]).
Ancora se [tex]a_n=n[/tex] allora [tex](\sin a_n)[/tex] è irregolare e si prova che addirittura ogni punto di [tex][-1,1][/tex] è un punto limite per [tex](\sin a_n)[/tex] (nel senso che per ogni [tex]a \in [-1,1][/tex] esiste un'estratta [tex](a_{n_k})[/tex] da [tex](a_n)[/tex] tale che [tex]\sin a_{n_k}\to a[/tex]).

[salvozungri]

"Orlok": [...]
Lo chiedo perchè ho assistito ad un esempio in cui c'era da calcolare :

[tex]lim \frac{(n+1)*\sin{n^2}}{n^2}[/tex] in cui qualcuno sarebbe portato a vedere il limite notevole. Invece il prof ha fatto la seguente osservazione: [tex]\sin{n^2}[/tex] è irregolare ma limitata ed il prodotto di un infinitesimo (quale è [tex]\frac{n+1}{n^2}[/tex] ) per una limitata è ancora un infinitesimo.
[...]

Quale limite notevole avevi in mente?

[Fioravante Patrone1]

Per $lim_{n to oo} \sin n$, si può vedere qui:
https://www.matematicamente.it/forum/limite-t12213.html

Visto che quel thread è grosso e divaga, puoi vedere direttamente questo post:
https://www.matematicamente.it/forum/lim ... html#93810

[Gmork]

"Mathematico":

Quale limite notevole avevi in mente?

era una bestemmia ma era [tex]\frac{\sin{n^2}}{n^2}\rightarrow 1[/tex]

[salvozungri]

"Orlok":era una bestemmia ma era [tex]\frac{\sin{n^2}}{n^2}\rightarrow 1[/tex]

Effettivamente è una bestemmia . Ok credo che sia chiaro perchè il tuo professore abbia seguito quella strada, no?!