Regolarità dell'inversa di una funzione convessa

[glooo1]

Sia $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione convessa e $C^2(\mathbb{R})$ tale che$\lim_{|x|\rightarrow +\infty}u(x)=+\infty$ and $u(0)=0=\min_{\mathbb{R}}u$.


Considero ora le funzioni che ottengo invertendo rispettivamente la restrizione di $u$ per le $x$ positive e negative:

se $u_+:[0,+\infty)\rightarrow[0,+\infty)$, $u_+(x)=u(x)$ per ogni $x\geq 0$ allora esiste la funzione inversa di $u_+$, i.e. $(u_+)^{-1}$;

se $u_{- }:(-\infty,0]\rightarrow[0,+\infty)$, $u_{-}(x)=u(x)$ per ogni $x\leq 0$ allora esiste la funzione inversa di $u_-$, i.e. $(u_-)^{-1}$;


Sia \begin{equation*}
\phi(y)=\begin{cases}( u_+)^{-1}(y)\quad y\geq 0 \;\\ (u_-)^{-1}(y) \quad y\leq 0.\end{cases}
\end{equation*}

Vorrei provare che la funzione $y\rightarrow\phi(y)$ è $C^1(\mathbb{R})$.

L'unico problema è per $y=0$. A me sembra chiaro che la $\phi$ è $C^1$ in tutto $\mathbb{R}$, ma non riesco a formalizzare la dimostrazione.

Grazie per l'aiuto!

[Seneca1]

Il fatto che $\phi \in C^0(\RR)$ è evidente. $\phi$ è derivabile in $]- \infty,0[$ e in $]0 , + \infty[$.
Io ti direi semplicemente di considerare $\phi'(y)$ per ogni $y \in \RR - \{ 0 \}$ e controllare che
\[ \lim_{y \to 0^+} \phi'(y) = \lim_{y \to 0^-} \phi'(y) .\]
In tal caso c'è un teorema di Analisi 1 che ti garantisce la derivabilità di $phi$ anche in $0$. In particolare avresti che la derivata è
\[ \psi(y) = \begin{cases} \lim_{t \to 0^{\pm}} \phi'(t) & y = 0 \\ \phi'(y) & y \ne 0 \end{cases} \]
e $\psi \in C^0(\RR)$.

[glooo1]

Grazie mille!!!