Regolarità della curva e sostegno
Ciao ragazzi, devo chiedervi un aiuto 
Devo discutere la regolarità di queste semplici e iniziali prime curve e descrivere graficando il sostegno della curva:
$\phi(t)=(t^2,t^3+t)$
ho derivato e ho constatato essere di classe C1, inoltre mi pare regolare non passando per l'origine.
Trovo però difficoltà a farne un grafico compiuto, o almeno provarci...
infatti dovrei apportare la sostituzione:
$x=t^2$ e sostituirla in $y=t(t^2+1)$ però ho dei t e mettendolo sotto radice dovrei avere +,- o perderei soluzioni. Non trovo un trucchetto per portarlo in forma cartesiana così da vederlo facilmente.
Es:2
$\phi(t)=(t,t^2,t^3)$ t nei reali
Anche qui la regolarità l'ho discussa ma sul sostegno sono bloccato
Mi aiutereste? Grazie come sempre!
Devo discutere la regolarità di queste semplici e iniziali prime curve e descrivere graficando il sostegno della curva:
$\phi(t)=(t^2,t^3+t)$
ho derivato e ho constatato essere di classe C1, inoltre mi pare regolare non passando per l'origine.
Trovo però difficoltà a farne un grafico compiuto, o almeno provarci...
infatti dovrei apportare la sostituzione:
$x=t^2$ e sostituirla in $y=t(t^2+1)$ però ho dei t e mettendolo sotto radice dovrei avere +,- o perderei soluzioni. Non trovo un trucchetto per portarlo in forma cartesiana così da vederlo facilmente.
Es:2
$\phi(t)=(t,t^2,t^3)$ t nei reali
Anche qui la regolarità l'ho discussa ma sul sostegno sono bloccato
Mi aiutereste? Grazie come sempre!
Risposte
Faccio un up perché sono curioso su come fare! 
Il metodo standard è quello di "eliminare il parametro", infatti nel secondo esempio è proprio così che arrivi alla soluzione.
$ { ( x=t ),( y=t^2 ),( z=t^3 ):} $ ; $ { ( y=x^2 ),( z=x^3 ):} $
quindi la seconda curva risulta l'intersezione tra due superfici che disegni facilmente.
Nel primo caso invece questo metodo non funziona.
Poichè la $ x $ è una potenza pari di $t$ puoi provare ad elevare $y$ al quadrato:
$ y^2=t^6+t^2+2t^4 =x^3+x+2x^2$
dunque la curva ha come sostegno gli zeri del polinomio $ y^2-x^3-2x^2-x $ .
$ { ( x=t ),( y=t^2 ),( z=t^3 ):} $ ; $ { ( y=x^2 ),( z=x^3 ):} $
quindi la seconda curva risulta l'intersezione tra due superfici che disegni facilmente.
Nel primo caso invece questo metodo non funziona.
Poichè la $ x $ è una potenza pari di $t$ puoi provare ad elevare $y$ al quadrato:
$ y^2=t^6+t^2+2t^4 =x^3+x+2x^2$
dunque la curva ha come sostegno gli zeri del polinomio $ y^2-x^3-2x^2-x $ .
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