Regolarità della curva e sostegno

matemos
Ciao ragazzi, devo chiedervi un aiuto :)

Devo discutere la regolarità di queste semplici e iniziali prime curve e descrivere graficando il sostegno della curva:

$\phi(t)=(t^2,t^3+t)$
ho derivato e ho constatato essere di classe C1, inoltre mi pare regolare non passando per l'origine.
Trovo però difficoltà a farne un grafico compiuto, o almeno provarci...
infatti dovrei apportare la sostituzione:
$x=t^2$ e sostituirla in $y=t(t^2+1)$ però ho dei t e mettendolo sotto radice dovrei avere +,- o perderei soluzioni. Non trovo un trucchetto per portarlo in forma cartesiana così da vederlo facilmente.

Es:2
$\phi(t)=(t,t^2,t^3)$ t nei reali
Anche qui la regolarità l'ho discussa ma sul sostegno sono bloccato

Mi aiutereste? Grazie come sempre!

Risposte
matemos
Faccio un up perché sono curioso su come fare! :D

Pierlu11
Il metodo standard è quello di "eliminare il parametro", infatti nel secondo esempio è proprio così che arrivi alla soluzione.
$ { ( x=t ),( y=t^2 ),( z=t^3 ):} $ ; $ { ( y=x^2 ),( z=x^3 ):} $
quindi la seconda curva risulta l'intersezione tra due superfici che disegni facilmente.
Nel primo caso invece questo metodo non funziona.
Poichè la $ x $ è una potenza pari di $t$ puoi provare ad elevare $y$ al quadrato:
$ y^2=t^6+t^2+2t^4 =x^3+x+2x^2$
dunque la curva ha come sostegno gli zeri del polinomio $ y^2-x^3-2x^2-x $ .

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