Regola di sostituzione per integrali definiti
[list=]
quando utilizziamo la regola di sostituzione per integrali definiti accade che
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
diventa utilizzando la generica funzione in u(x)
$ int_(u(a))^(u(b)) f(x)/(u'(x))du(x) $
se u(x)=f(x) allora
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/(f'(x))df(x) $
ora se imponiamo che la funzione f(x) sia una parabola
$ f(x)=c*x^2+d*x+e $
nel caso
$ a=(-d-sqrt(d^2-4*c*e))/(2*c) $
$ b=(-d+sqrt(d^2-4*c*e))/(2*c) $
siamo nel caso in cui
$ f(a)=f(b)=0 $
quindi essendo gli estremi d'integrazione identici il risultato dell'integrale sarebbe 0?
dov'è l'errore?
quando utilizziamo la regola di sostituzione per integrali definiti accade che
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
diventa utilizzando la generica funzione in u(x)
$ int_(u(a))^(u(b)) f(x)/(u'(x))du(x) $
se u(x)=f(x) allora
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/(f'(x))df(x) $
ora se imponiamo che la funzione f(x) sia una parabola
$ f(x)=c*x^2+d*x+e $
nel caso
$ a=(-d-sqrt(d^2-4*c*e))/(2*c) $
$ b=(-d+sqrt(d^2-4*c*e))/(2*c) $
siamo nel caso in cui
$ f(a)=f(b)=0 $
quindi essendo gli estremi d'integrazione identici il risultato dell'integrale sarebbe 0?
dov'è l'errore?
Risposte
"gabriele81":
quando utilizziamo la regola di sostituzione per integrali definiti accade che
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
diventa utilizzando la generica funzione in u(x)
$ int_(u(a))^(u(b)) f(x)/(u'(x))du(x) $
Edit: Il seguente testo è stato nascoto perché contiene "una grande, gigantesca, strepitosa ca...."
dal momento che sei ritornato a calcolarti l'integrale in dx credo si dovrebbero modificare anche i relativi estremi di integrazione, me la immagino come una traslazione, mi spiego meglio, considerando l'incremento dx devo indicare da che punto a che punto calcolare l'integrale f(x) sull'asse delle x mentre se calcoliamo l'integrale f(x)/f'(x) facendo variare f(x) dobbiamo in modo del tutto equivalente tenere presente da che punto a che punto calcolare l'integrale sull'asse f(x).Cmq potresti spiegarmi perchè riteni non si debbano cambiare gli estremi di integrazione?
Io non sono ritornato proprio a niente 
Guarda le due formule che ho citato: tu dici che dalla prima, facendo una sostituzione [che, tra parentesi, non si è nemmeno capito quale sia perché tu nomini solamente una \(u(x)\)] si arrivi alla seconda.
Io per tutta risposta ho preso la seconda, ho applicato la definizione di differenziale e la proprietà associativa della moltiplicazione [non ho quindi fatto alcun cambio di variabile] e ti ho fatto vedere che ciò a cui si arriva è un integrale con stessa integranda e diversi estremi rispetto alla prima, e che quindi in generale l'identità non è verificata.
Guarda le due formule che ho citato: tu dici che dalla prima, facendo una sostituzione [che, tra parentesi, non si è nemmeno capito quale sia perché tu nomini solamente una \(u(x)\)] si arrivi alla seconda.
Io per tutta risposta ho preso la seconda, ho applicato la definizione di differenziale e la proprietà associativa della moltiplicazione [non ho quindi fatto alcun cambio di variabile] e ti ho fatto vedere che ciò a cui si arriva è un integrale con stessa integranda e diversi estremi rispetto alla prima, e che quindi in generale l'identità non è verificata.
allora mi spiegheresti che differenza c'è tra ciò che ho scritto io e la solution 2 riportata alla seguente pag web?
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... inite.aspx
io ho scritto
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/(f'(x))df(x) $
ma avrei potuto scrivere anche
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/g(f(x))df(x) $
intendo dire che, come viene richiesto nell'esempio, ho riscritto la funzione totlamente in termini di f(x)
essendo per f(x) che stiamo integrando (f(x)/f'(x)).
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... inite.aspx
io ho scritto
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/(f'(x))df(x) $
ma avrei potuto scrivere anche
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/g(f(x))df(x) $
intendo dire che, come viene richiesto nell'esempio, ho riscritto la funzione totlamente in termini di f(x)
essendo per f(x) che stiamo integrando (f(x)/f'(x)).
Ok, provo un altro approccio.
Scrivimi tutti i passaggi con cui vai da
\[
\int_a^bf(x) \text{d}x
\]
a
\[
\int_{f(a)}^{f(b)}\frac{f(x)}{u'(x)}\text{d}(u(x))
\]
Scrivimi tutti i passaggi con cui vai da
\[
\int_a^bf(x) \text{d}x
\]
a
\[
\int_{f(a)}^{f(b)}\frac{f(x)}{u'(x)}\text{d}(u(x))
\]
allora il mio ragionamento è questo, partiamo da
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
prendo il differenziale di f(x)
$ df(x)= f'(x)*d(x) $
mi isolo d(x) ed ottengo
$ d(x)= (df(x))/(f'(x)) $
che andando a sostituire nell'integrale diviene
$ int_(?)^(?) f(x)(df(x))/(f'(x)) $
sostituisco ora f(x) con c la nostra nuova variabile
$ int_(?)^(?) c/g(c)dc $
l'integrale è la somma di dell'area di rettangoli che per l'integrale $ int_(a)^(b) f(x)dx $ sono calcolati in questo modo
il primo lato è lungo f(x) mentre il secondo lato è lungo dx.In questo caso la sommatoria di f(x)dx è per x che va da a fino a b
dunque
riadattando lo stesso raggionamento per il secondo integrale intendo $ int_(?)^(?) c/g(c)*dc $ accade che
il primo lato di ogni rettangolino è dato da c/g(c) mentre il secondo lato è dato da d(c). in questo caso la sommatoria di c/g(c)dc non potrà che andare per c che va da f(a) ad f(b) .
$ int_(f(a))^(f(b)) c/g(c)*dc $
cosa ho sbagliato?
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
prendo il differenziale di f(x)
$ df(x)= f'(x)*d(x) $
mi isolo d(x) ed ottengo
$ d(x)= (df(x))/(f'(x)) $
che andando a sostituire nell'integrale diviene
$ int_(?)^(?) f(x)(df(x))/(f'(x)) $
sostituisco ora f(x) con c la nostra nuova variabile
$ int_(?)^(?) c/g(c)dc $
l'integrale è la somma di dell'area di rettangoli che per l'integrale $ int_(a)^(b) f(x)dx $ sono calcolati in questo modo
il primo lato è lungo f(x) mentre il secondo lato è lungo dx.In questo caso la sommatoria di f(x)dx è per x che va da a fino a b
dunque
riadattando lo stesso raggionamento per il secondo integrale intendo $ int_(?)^(?) c/g(c)*dc $ accade che
il primo lato di ogni rettangolino è dato da c/g(c) mentre il secondo lato è dato da d(c). in questo caso la sommatoria di c/g(c)dc non potrà che andare per c che va da f(a) ad f(b) .
$ int_(f(a))^(f(b)) c/g(c)*dc $
cosa ho sbagliato?
Adesso niente, ho capito quello che fai ed ho anche capito che quello che dicevo prima è sbagliato, per una questione di cambi di scala.
Venendo al tuo errore, ho riguardato il libro di analisi 1 e c'è scritto che per la sostituzione devi usare una funzione \(x = \varphi(t) \in C^1([a,b])\). Nel tuo caso la sostituzione con una parabola è del tipo \( t = \omega(x) \), ma quando vai ad invertirla per tornare a \(x = \varphi(t) \) non ci riesci perché essendo una parabola non è invertibile, quindi il tutto casca.
Venendo al tuo errore, ho riguardato il libro di analisi 1 e c'è scritto che per la sostituzione devi usare una funzione \(x = \varphi(t) \in C^1([a,b])\). Nel tuo caso la sostituzione con una parabola è del tipo \( t = \omega(x) \), ma quando vai ad invertirla per tornare a \(x = \varphi(t) \) non ci riesci perché essendo una parabola non è invertibile, quindi il tutto casca.
non sono daccordo, l'invertibilità è un requisito richiesto quando vi è un cambiamento di variabile
ad esempio partiamo da un integrale del genere
$ int_(a )^( b) f(x)dx $
a questo punto impongo che
$ x =varphi(t) in C^1([ a,b ]) $
ottengo dopo alcuni semplici passaggi che
$ int_(?)^(?) f(varphi(t))varphi'(t)dt $
per trovare gli estremi di integrazione anche in questo caso dobbiamo vedere su quale sistema di riferimento facciamo capo, quindi in questo caso le variabili del sistema sono $ f(varphi(t))varphi'(t)$ e t, ma essendo obbligati a trovare un legame tra t e a e b ovvero gli estremi d'integrazione originali scriviamo le t in funzione di a e di b esattamente come ho fatto nell'esempio precedente soltanto che in questo caso le circostanze ci impongono che la funzione sia oltre che derivabile sempre, nell'intervallo di integrazione, anche invertibile
se
$ x=varphi(t) $
allora
dato che dobbiamo mettere in evidenza la x poichè dobbiamo esplicitarla ( conosciamo a e b) facciamo l'inversione
$ varphi'(x)=t $
quindi
$ int_(t(a))^(t(b)) f(varphi(t))varphi'(t)dt $
ovvero
$ int_(varphi^-1(a))^(varphi^-1(b)) f(varphi(t))varphi'(t)dt $
se ti riferisci a questo caso non ritengo sia applicabile al caso mio, non credi.
ad esempio partiamo da un integrale del genere
$ int_(a )^( b) f(x)dx $
a questo punto impongo che
$ x =varphi(t) in C^1([ a,b ]) $
ottengo dopo alcuni semplici passaggi che
$ int_(?)^(?) f(varphi(t))varphi'(t)dt $
per trovare gli estremi di integrazione anche in questo caso dobbiamo vedere su quale sistema di riferimento facciamo capo, quindi in questo caso le variabili del sistema sono $ f(varphi(t))varphi'(t)$ e t, ma essendo obbligati a trovare un legame tra t e a e b ovvero gli estremi d'integrazione originali scriviamo le t in funzione di a e di b esattamente come ho fatto nell'esempio precedente soltanto che in questo caso le circostanze ci impongono che la funzione sia oltre che derivabile sempre, nell'intervallo di integrazione, anche invertibile
se
$ x=varphi(t) $
allora
dato che dobbiamo mettere in evidenza la x poichè dobbiamo esplicitarla ( conosciamo a e b) facciamo l'inversione
$ varphi'(x)=t $
quindi
$ int_(t(a))^(t(b)) f(varphi(t))varphi'(t)dt $
ovvero
$ int_(varphi^-1(a))^(varphi^-1(b)) f(varphi(t))varphi'(t)dt $
se ti riferisci a questo caso non ritengo sia applicabile al caso mio, non credi.
Ok, ma se fai una cosa del genere allora non puoi più avere il caso che dicevi all'inizio: se quella che tu chiamavi \(f\) è una parabola, allora se nell'intervallo in questione contiene tutti e due i suoi zeri non può essere invertibile, quindi la sua inversa, cioè \(\varphi\) non può essere \(\varphi \in C^1([\alpha,\beta])\) per qualche \(\alpha, \beta\), anzi non è nemmeno una funzione.
"Raptorista":
Ok, ma se fai una cosa del genere allora non puoi più avere il caso che dicevi all'inizio...
hai perfettamente ragione a dire che non è possibile invertire la parabola ma questo se rileggi ciò che ho scritto sopra non c'è bisogno di invertire intendo dire che
considerando il seguente integrale
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
se sostituisco la x con una funazione g(t), allora avremo
$ int_(g^-1(a))^(g^-1(b)) f(g(t))g'(t)dt $
poichè per ottenere il valore di t "in funzione" di x al fine di calcolare che valore avrà t quando x sarà uguale ad a o b abbiamo bisogno di calcolare l'inversa
infatti se x=g(t) è ovvio che t=g^-1(x)
nel mio caso invece non sostituisco la x con una funzione di t, io non considero nessuna nuova funzione e nessuna nuova variabile.
"gabriele81":
[list=]
quando utilizziamo la regola di sostituzione per integrali definiti accade che
$ int_(a)^(b) f(x)dx $
diventa utilizzando la generica funzione in u(x)
$ int_(u(a))^(u(b)) f(x)/(u'(x))du(x) $
se u(x)=f(x) allora
$ int_(f(a))^(f(b)) f(x)/(f'(x))df(x) $
ora se imponiamo che la funzione f(x) sia una parabola
$ f(x)=c*x^2+d*x+e $
nel caso
$ a=(-d-sqrt(d^2-4*c*e))/(2*c) $
$ b=(-d+sqrt(d^2-4*c*e))/(2*c) $
siamo nel caso in cui
$ f(a)=f(b)=0 $
quindi essendo gli estremi d'integrazione identici il risultato dell'integrale sarebbe 0?
dov'è l'errore?
Potresti spiegarmi perchè nel mio caso, ovvero quest'ultimo che ti ho citato,secondo te l'invertibilità della funzione è un requisito da tenere presente? Ti ringrazio per la tua pazienza.
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