Regola dell'Hopital

[USSliberty]

Buongiorno a tutti, ho un problema con il seguente limite :

$ lim_(x -> 0) (((e^{2x} - e^{x} )cos(x) + (x-1)sin(x)) / ((1-sqrt(1-x))log (1+x))) $

Che è un limite indefinito 0/0. Ora dopo un paio di trasformazioni ho il seguente limite:

$ lim_(x -> 0)((x/log (1+x))*((e^{x}*(e^{x}-1)/x*cos(x) + (sin (x)/x)*(x-1)) /(1-sqrt(1-x)))) $

Io adesso ho 3 limiti immediati e cioè :

1) $ lim_(x -> 0)(x/log (1+x)) = ln 10 $

2) $ lim_(x -> 0) ((e^{x}-1)/x)=1 $

3) $ lim_(x -> 0)(sin (x)/x)=1 $

Adesso io mi chiedo , ma posso applicare del'Hopital qui (il limite è ancora nella forma 0/0):

$ ((e^{x}*(e^{x}-1)/x*cos(x) + (sin (x)/x)*(x-1)) /(1-sqrt(1-x))) $

Sapendo che quei due limiti immediati risultano "1", posso far finta che non ci siano in modo da applicare del'Hopital su quello che resta? Ve lo domando perchè non riesco a venirne fuori, in qualunque caso mi viene sempre la forma indeterminata 0/0, tranne ovviamente se applico del'Hopital nel modo descritto sopra (che risulta $ -ln(10) $).

Vi ringrazio per la vostra pazienza e dedizione.

Alessio

[klarence1]

Non so se si possa fare quello che dici... ma penso che ti converga risolvere questo limite utilizzando le formule ti taylor se non riesci con i limiti notevoli.

[Jacknife]

Io andrei avanti senza teorema dell'hopital (troppi conti da fare!), tenendo conto di quello che dicevi tu:

"USSliberty":
1) $ lim_(x -> 0)(x/log (1+x)) = ln 10 $
2) $ lim_(x -> 0) ((e^{x}-1)/x)=1 $
3) $ lim_(x -> 0)(sin (x)/x)=1 $

allora:

$\lim_{x\rightarrow 0}(x/log (1+x))(e^{x}*(e^{x}-1)/x*cos(x) + (sin (x)/x)*(x-1)) /(1-sqrt(1-x))=\lim_{x\rightarrow 0}ln10(e^{x}cos(x) +(x-1)) /(1-sqrt(1-x))$

ora se moltiplichi il denominatore per il termine $(1+sqrt(1-x))/(1+sqrt(1-x))$ e il numeratore per $x/x$ vedrei che il limite che devi risolvere non è poi così complicato

n.b. $cos(x)$ per $x->1$ è 1!

p.s. comunque per quello che chiedevi tu, nulla ti vieta di farlo..
un consiglio: prova a farlo sia come ti ho suggerito io, sia con Taylor come diceva klarence, poi prova con l'hopital vedrai che i tre risultati dovrebbero coincidere!

[USSliberty]

Innanzitutto grazie per le risposte!

@klarence: io i polinomi di taylor non li ho nel programma ( per fortuna )

@Jacknife : ho fatto come hai detto tu però mi viene che il lim è $ oo $ .

In pratica il limite finale dopo quelle trasformazioni che mi hai detto tu è :

$ lim_(x ->0) ( ln (10)*((e^{x}*cos (x))/x + (x-1)/x )*(1+sqrt(1-x) ) ) = ln (10)*oo *2 = oo $

A te risulta? Te lo domando perchè facendo con de l'Hopital viene diverso. Ma mi sa che ha questo punto avrò sbagliato a fare le derivate....

Grazie comunque per l'aiuto che mi state dando! Mi mancano 2 esami per laurearmi e uno di questi è analisi xD

[Jacknife]

Hai sbagliato qui:

"USSliberty":
$ lim_(x ->0) ( ln (10)*((e^{x}*cos (x))/x + (x-1)/x )*(1+sqrt(1-x) ) ) = ln (10)*oo *2 = oo $

il termine tra parentesi $(e^x cos(x)/x+(x-1)/x)$ non tende a $\infty$, infatti:
$e^x cos(x)/x+(x-1)/x=(e^x cos(x)-1)/x+x/x=(e^x cos(x)-1)/x+1$

che tende a $2$ quindi il limite dovrebbe risultare $4 ln10$

..in bocca al lupo per gli ultimi esami!

[Lokad]

scusami, il risultato è 4 per caso?

EDIT: ma non capisco, quelo ln10 da dove esce?

[klarence1]

"Lokad":scusami, il risultato è 4 per caso?

EDIT: ma non capisco, quelo ln10 da dove esce?

Esce dal conto che poi ha tralasciato $x/(log(1+x))$ sicuramente la base del logaritmo è 10.

[Lokad]

"klarence":[quote="Lokad"]scusami, il risultato è 4 per caso?

EDIT: ma non capisco, quelo ln10 da dove esce?

Esce dal conto che poi ha tralasciato $x/(log(1+x))$ sicuramente la base del logaritmo è 10.[/quote]
avevo dato per scontato che fosse un logaritmo naturale, quindi avevo considerato quel limiti uguale a 1.