Regola della catena - Gradiente
Ho questo esercizio che non riesco a risolvere. Questo è il testo: Siano $g_1$, $g_2$ $\in C^2(R^2,R)$ e poniamo $ g : R^3 \rightarrow R$,
$g(x,y,z)= g_1 (2+g_2((x^2 + zy^3)^2,arctan^3(x) + 2z^3),3x^3 + y^6)$
Calcolare $\nabla g(x_0,y_0,z_0)$ dove $(x_0,y_0,z_0) \in R^3$
Io pensavo di calcolare la derivata di g in x e metterla come prima riga del grandiente, poi la derivata di g in y e metterla come seconda riga nel gradiente, e poi la derivata di g in z e metterla nella terza riga del gradiente... Ho provato con la regola della catena, ma la doppia catena di $g_1\ g_2$ non mi fa proseguire... Avevo pensato di mettere $f_1 =2+g_2((x^2 + zy^3)^2,arctan^3(x) + 2z^3)$ ed $f_2=3x^3 + y^6$, ma anche in questo modo non sono risciuto a venirne a capo...
$g(x,y,z)= g_1 (2+g_2((x^2 + zy^3)^2,arctan^3(x) + 2z^3),3x^3 + y^6)$
Calcolare $\nabla g(x_0,y_0,z_0)$ dove $(x_0,y_0,z_0) \in R^3$
Io pensavo di calcolare la derivata di g in x e metterla come prima riga del grandiente, poi la derivata di g in y e metterla come seconda riga nel gradiente, e poi la derivata di g in z e metterla nella terza riga del gradiente... Ho provato con la regola della catena, ma la doppia catena di $g_1\ g_2$ non mi fa proseguire... Avevo pensato di mettere $f_1 =2+g_2((x^2 + zy^3)^2,arctan^3(x) + 2z^3)$ ed $f_2=3x^3 + y^6$, ma anche in questo modo non sono risciuto a venirne a capo...
Risposte
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Cerchiamo di scrivere tutto in modo più semplice. Poniamo
[tex]$u=(x^2+zy^3)^2,\quad v=\arctan^3 x+2z^3,\quad y_2=3x^3+y^6,\quad y_1=2+g_2(u,v)$[/tex]
in modo che [tex]$g(x,y,z)=g_1\left[2+g_2(u,v),y_2\right]=g_1(y_1,y_2)$[/tex]. A questo punto, per la derivata parziale rispetto ad $x$ si ha, ad esempio
[tex]$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g_1}{\partial x}=\frac{\partial g_1}{\partial y_1}\cdot\frac{\partial y_1}{\partial x}+\frac{\partial g_1}{\partial y_2}\cdot\frac{\partial y_2}{\partial x}=
\frac{\partial g_1}{\partial y_1}\cdot\left[\frac{\partial g_2}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g_2}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\right]+\frac{\partial g_1}{\partial y_2}\cdot\frac{\partial y_2}{\partial x}$[/tex]
e a questo punto si tratta solo di calcolare cosa siano $u_x,\ v_x,\ (y_2)_x$ (in quanto le altre sono tutte funzioni generiche). Allo stesso modo le altre (hint: basta sostituire opportunamente $y,\ z$ a $x$).
[tex]$u=(x^2+zy^3)^2,\quad v=\arctan^3 x+2z^3,\quad y_2=3x^3+y^6,\quad y_1=2+g_2(u,v)$[/tex]
in modo che [tex]$g(x,y,z)=g_1\left[2+g_2(u,v),y_2\right]=g_1(y_1,y_2)$[/tex]. A questo punto, per la derivata parziale rispetto ad $x$ si ha, ad esempio
[tex]$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g_1}{\partial x}=\frac{\partial g_1}{\partial y_1}\cdot\frac{\partial y_1}{\partial x}+\frac{\partial g_1}{\partial y_2}\cdot\frac{\partial y_2}{\partial x}=
\frac{\partial g_1}{\partial y_1}\cdot\left[\frac{\partial g_2}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g_2}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\right]+\frac{\partial g_1}{\partial y_2}\cdot\frac{\partial y_2}{\partial x}$[/tex]
e a questo punto si tratta solo di calcolare cosa siano $u_x,\ v_x,\ (y_2)_x$ (in quanto le altre sono tutte funzioni generiche). Allo stesso modo le altre (hint: basta sostituire opportunamente $y,\ z$ a $x$).
Grazie per la risposta.... Provo ad inserire la soluzione...
$((\frac{\partial g}{\partial x}),(\frac{\partial g}{\partial y}),(\frac{\partial g}{\partial z}))$
$\frac{\partial g}{\partial x}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [(\delta g_2) / (\delta u) 4x^3 +(\delta g_2) / (\delta v) (arctg^2 x)/(1+x^2)] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 9x^2$
$\frac{\partial g}{\partial y}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [(\delta g_2) / (\delta u) 6y^5z^2 +(\delta g_2) / (\delta v) 0] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 6y^5$
$\frac{\partial g}{\partial z}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [(\delta g_2) / (\delta u) 2zy^6 +(\delta g_2) / (\delta v) 6z^2] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 0$
Spero sia corretta... Però una domanda... Se $y_1=xyz + g_2(u,v)$ come mi sarei dovuto comportare???
Ancora grazie...
$((\frac{\partial g}{\partial x}),(\frac{\partial g}{\partial y}),(\frac{\partial g}{\partial z}))$
$\frac{\partial g}{\partial x}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [(\delta g_2) / (\delta u) 4x^3 +(\delta g_2) / (\delta v) (arctg^2 x)/(1+x^2)] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 9x^2$
$\frac{\partial g}{\partial y}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [(\delta g_2) / (\delta u) 6y^5z^2 +(\delta g_2) / (\delta v) 0] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 6y^5$
$\frac{\partial g}{\partial z}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [(\delta g_2) / (\delta u) 2zy^6 +(\delta g_2) / (\delta v) 6z^2] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 0$
Spero sia corretta... Però una domanda... Se $y_1=xyz + g_2(u,v)$ come mi sarei dovuto comportare???
Ancora grazie...
In quel caso è una somma di funzioni: le derivi come una somma. (In questo caso non c'è altro a parte le derivate di $g_2$ perché tale funzione è sommata ad una costante).
Scusami, ma non sono mai sicuro dei risultati... Faccio solo la derivata in x con $y_1=xyz+g_2(u,v)$
$\frac{\partial g}{\partial x}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [yz +(\delta g_2) / (\delta u) 4x^3 +(\delta g_2) / (\delta v) (arctg^2 x)/(1+x^2)] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 9x^2$
E' corretto così??? E la regola della catena può essere applicata anche alle jacobiane??? Grazie
$\frac{\partial g}{\partial x}=(\delta g_1) / (\delta y_1) [yz +(\delta g_2) / (\delta u) 4x^3 +(\delta g_2) / (\delta v) (arctg^2 x)/(1+x^2)] + (\delta g_1) / (\delta y_2) 9x^2$
E' corretto così??? E la regola della catena può essere applicata anche alle jacobiane??? Grazie
Sì a tutte e due le domande. Con lo Jacobiano, anzi, hai delle proprietà molto carine, in quanto se calcoli la Jacobiana di una composizione di trasformazioni (che è una matrice) ottieni il prodotto delle due jacobiane delle trasformazioni.
Provo a scriverlo qua, per vedere se ho capito come procedere...Io ho:
$g(x,y)= (x^2 + g_1(3x^2 y^3,e^(2y^2)),cos(x^2+3)+3xy^3)$
Dico che $g_1$ è una funzione in $(x_1,x_2)$ per differenziarli da $(x,y)$ di $g$
$g(x,y)=(x^2 + g_1(x_1,x_2),cos(x^2+3)+3xy^3)$
$g(x,y)=(f_1,f_2)$
$J_g = |((\delta f_1)/(\delta x) \ \ \ \ , (\delta f_1)/(\delta y)),((\delta f_2)/(\delta x)\ \ \ \ ,(\delta f_2)/(\delta y))|$
Quindi calcolo il primo termine della matrice:
$(\delta f_1)/(\delta x) = 2x + (\delta g_1)/(\delta x_1) (\delta x_1)/(\delta x) + (\delta g_1)/(\delta x_2) (\delta x_2)/(\delta x) = 2x + (\delta g_1)/(\delta x_1) 6xy^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *0$
$(\delta f_1)/(\delta y) = 0 + (\delta g_1)/(\delta x_1) (\delta x_1)/(\delta y) + (\delta g_1)/(\delta x_2) (\delta x_2)/(\delta y) = 0 + (\delta g_1)/(\delta x_1) 9x^2y^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *4ye^(2y^2)$
$(\delta f_2)/(\delta x) = -2xsin(x^2+3) + 3y^3$
$(\delta f_2)/(\delta y) = 9xy^2$
Quindi riscrivo la Jacobiana:
$J_g = |( 2x + (\delta g_1)/(\delta x_1) 6xy^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *0 \ \ \ \ \ \ \ \ , 0 + (\delta g_1)/(\delta x_1) 9x^2y^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *4ye^(2y^2)),(-2xsin(x^2+3) + 3y^3\ \ \ \ ,9xy^2)|$
Così può andar bene? Grazie
$g(x,y)= (x^2 + g_1(3x^2 y^3,e^(2y^2)),cos(x^2+3)+3xy^3)$
Dico che $g_1$ è una funzione in $(x_1,x_2)$ per differenziarli da $(x,y)$ di $g$
$g(x,y)=(x^2 + g_1(x_1,x_2),cos(x^2+3)+3xy^3)$
$g(x,y)=(f_1,f_2)$
$J_g = |((\delta f_1)/(\delta x) \ \ \ \ , (\delta f_1)/(\delta y)),((\delta f_2)/(\delta x)\ \ \ \ ,(\delta f_2)/(\delta y))|$
Quindi calcolo il primo termine della matrice:
$(\delta f_1)/(\delta x) = 2x + (\delta g_1)/(\delta x_1) (\delta x_1)/(\delta x) + (\delta g_1)/(\delta x_2) (\delta x_2)/(\delta x) = 2x + (\delta g_1)/(\delta x_1) 6xy^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *0$
$(\delta f_1)/(\delta y) = 0 + (\delta g_1)/(\delta x_1) (\delta x_1)/(\delta y) + (\delta g_1)/(\delta x_2) (\delta x_2)/(\delta y) = 0 + (\delta g_1)/(\delta x_1) 9x^2y^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *4ye^(2y^2)$
$(\delta f_2)/(\delta x) = -2xsin(x^2+3) + 3y^3$
$(\delta f_2)/(\delta y) = 9xy^2$
Quindi riscrivo la Jacobiana:
$J_g = |( 2x + (\delta g_1)/(\delta x_1) 6xy^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *0 \ \ \ \ \ \ \ \ , 0 + (\delta g_1)/(\delta x_1) 9x^2y^3 + (\delta g_1)/(\delta x_2) *4ye^(2y^2)),(-2xsin(x^2+3) + 3y^3\ \ \ \ ,9xy^2)|$
Così può andar bene? Grazie
Mi pare di sì (non ho controllato tutti i conti ma mi sembra non ci siano errori).
OK, allora grazie... Adesso mi tocca fare un po' di esercizi... C'è un modo di controllare la soluzione con l'ausilio del pc??? Così potrei controllare i risultati da solo...
Se hai qualcosa tipo mathematica o maple sì. Non so se wolphram alpha ti risponde su queste cose.
Ho mathematica, però la mia conoscenza è limitata a piccole equazioni più grafici... Provo a cercare qualcosa con google per vedere come fare... Su wolframalpha non ci sono riuscito, lo uso spesso ma non saprei come impostare il problema...
Ho un altro gradiente da calcolare... Siano $g_1,g_2 \in C^1(R^2,R)$ e poniamo $g: R^2 rarr R$,
$g(x,y)=g_1(g_2(cos^3(x^3+y),5x^2y^3);xy+x^2+3xy^5)$
Calcolare $\grad g(x_0,y_0)$
Io faccio così:
$\grad g(x_0,y_0) = ((\delta g)/ (\delta x),(\delta g)/ (\delta y))$ ps:si può scrivere così invece che in matrice un termine sull'altro???
Chiamo $g_1(x_1,x_2)$ con $x_1= g_2(cos^3(x^3+y),5x^2y^3) = g_2(y_1,y_2)$ e $x_2=xy+x^2+3xy^5$
Allora $(\delta g)/ (\delta x) = (\delta g_1)/ (\delta x_1) (\delta x_1)/ (\delta x) + (\delta g_1)/ (\delta x_2) (\delta x_2)/ (\delta x) = (\delta g_1)/ (\delta x_1) (\delta g_2)/ (\delta y_1) (\delta y_1)/ (\delta x) + (\delta g_1)/ (\delta x_1) (\delta g_2)/ (\delta y_2) (\delta y_2)/ (\delta x) +(\delta g_1)/ (\delta x_2) (\delta x_2)/ (\delta x)$
$(\delta g)/ (\delta y)= (\delta g_1)/ (\delta x_2) (\delta 2_2)/ (\delta y)$
E' corretto per esprimere il procedimento di calcolo??? Le derivate poi si fanno a parte e si mette tutto insieme... Correggettemi se ho sbagliato qualcosa...
$g(x,y)=g_1(g_2(cos^3(x^3+y),5x^2y^3);xy+x^2+3xy^5)$
Calcolare $\grad g(x_0,y_0)$
Io faccio così:
$\grad g(x_0,y_0) = ((\delta g)/ (\delta x),(\delta g)/ (\delta y))$ ps:si può scrivere così invece che in matrice un termine sull'altro???
Chiamo $g_1(x_1,x_2)$ con $x_1= g_2(cos^3(x^3+y),5x^2y^3) = g_2(y_1,y_2)$ e $x_2=xy+x^2+3xy^5$
Allora $(\delta g)/ (\delta x) = (\delta g_1)/ (\delta x_1) (\delta x_1)/ (\delta x) + (\delta g_1)/ (\delta x_2) (\delta x_2)/ (\delta x) = (\delta g_1)/ (\delta x_1) (\delta g_2)/ (\delta y_1) (\delta y_1)/ (\delta x) + (\delta g_1)/ (\delta x_1) (\delta g_2)/ (\delta y_2) (\delta y_2)/ (\delta x) +(\delta g_1)/ (\delta x_2) (\delta x_2)/ (\delta x)$
$(\delta g)/ (\delta y)= (\delta g_1)/ (\delta x_2) (\delta 2_2)/ (\delta y)$
E' corretto per esprimere il procedimento di calcolo??? Le derivate poi si fanno a parte e si mette tutto insieme... Correggettemi se ho sbagliato qualcosa...
Mi sembra corretto.
P.S.: per inserire il carattere giusto per la derivata parziale $\partial$ devi digitare \partial
P.S.: per inserire il carattere giusto per la derivata parziale $\partial$ devi digitare \partial
Grazie tante
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