Regola della catena
Diciamo che abbiamo due funzioni:
$f : A \subseteq R^n -> R^m$
$g: B \subseteq R^m -> R^p$
Vorrei capire come arrivare alla formula della regola della catena che sul libro davvero non ci sono riuscito. Allora usando le matrici Jacobiane ho capito che se voglio trovare la derivate di $f$ composto $g$ cioè $f(g)$ basta moltiplicare la matrice jacobiana di $f$ per quella di $g$ però anche così in teopria mi confondo con i vari indici e termini, usando la formula con la sommatoria non riesco a capire come fare. Mi potreste aiutare?
Volendo ho questo esempio ma non i risultati:
$f (x,y) = \arctan (xy)$ e $g (t) = ((e^t),(\sint))$
come trovare la formula della derivata della funzione composta $f(g)$?
$f : A \subseteq R^n -> R^m$
$g: B \subseteq R^m -> R^p$
Vorrei capire come arrivare alla formula della regola della catena che sul libro davvero non ci sono riuscito. Allora usando le matrici Jacobiane ho capito che se voglio trovare la derivate di $f$ composto $g$ cioè $f(g)$ basta moltiplicare la matrice jacobiana di $f$ per quella di $g$ però anche così in teopria mi confondo con i vari indici e termini, usando la formula con la sommatoria non riesco a capire come fare. Mi potreste aiutare?
Volendo ho questo esempio ma non i risultati:
$f (x,y) = \arctan (xy)$ e $g (t) = ((e^t),(\sint))$
come trovare la formula della derivata della funzione composta $f(g)$?
Risposte
$d/(dt)( f \circ g )(t) = ((\partial f)/(\partial x) , (\partial f)/(\partial y) ) \cdot ((g_1'(t)),(g_2'(t))) = (\partial f)/(\partial x) (t) \circ g(t) g_1 '(t) + (\partial f)/(\partial y) \circ g(t) g_2'(t) $
Quindi la prima è una matrice riga fatta dal gradiente della funzione più esterna, mentre la seconda è una matrice colonna fatta dal gradiente della funzione interna, ma il secondo termine non mi è chiarissimo.
Se fossero state entrambe funzioni vettoriali
$f(x,y) = ((f_1),(f_2),(f_3))$ e $g (t,s) = ((g_1),(g_2))$ dovrà uscire una matrice $3 xx 2$?
$(f \circ g)' = ((\nabla f_1),(\nabla f_2), (\nabla f_3)) ((\nabla g_1),(\nabla g_2))$ ma credo sia sbagliata per qualche motivo.
Grazie mille
Se fossero state entrambe funzioni vettoriali
$f(x,y) = ((f_1),(f_2),(f_3))$ e $g (t,s) = ((g_1),(g_2))$ dovrà uscire una matrice $3 xx 2$?
$(f \circ g)' = ((\nabla f_1),(\nabla f_2), (\nabla f_3)) ((\nabla g_1),(\nabla g_2))$ ma credo sia sbagliata per qualche motivo.
Grazie mille
"smaug":
mentre la seconda è una matrice colonna fatta dal gradiente della funzione interna
Non proprio. La seconda è una "matrice colonna" le cui righe sono i gradienti di $g_1 , g_2$, le quali sono semplicemente delle funzioni reali di variabile reale (le derivate di $g_1 , g_2$ rispetto a $t$).
Ok, quindi quello che ho scritto successivamente in genere è valido..?
Grazie
Grazie
Sì, è corretto. La jacobiana della composizione è una matrice $3 \times 2$.
Di niente.
Di niente.
conosci un pdf dove posso trovare esercizi su questo argomento? Grazie ancora 
c'è qualcos'altro da sapere per derivare le funzioni composte?
c'è qualcos'altro da sapere per derivare le funzioni composte?
Se prendiamo queste
$f (x,y) = \arctan (xy)$ e $g (t) = ((e^t),(\sint))$
Siccome la derivata della funzione composta $f \circ g$ è il prodotto della derivata di $f$ avente come argomento la funzione interna, per quella interna, sarebbe:
$((y/(1 + x^2y^2), x / (1 + x^2y^2))) ((e^t),(\cost)) = ((\sint/(1 + (e^t\sint)^2), e^t / (1 + (e^t\sint)^2)))((e^t),(\cost)) $
così? mentre se volessi fare $g \circ f$? come faccio a mettere nella variabile $t$ due variabili $x$ e $y$? $t = \arctan xy$?
$f (x,y) = \arctan (xy)$ e $g (t) = ((e^t),(\sint))$
Siccome la derivata della funzione composta $f \circ g$ è il prodotto della derivata di $f$ avente come argomento la funzione interna, per quella interna, sarebbe:
$((y/(1 + x^2y^2), x / (1 + x^2y^2))) ((e^t),(\cost)) = ((\sint/(1 + (e^t\sint)^2), e^t / (1 + (e^t\sint)^2)))((e^t),(\cost)) $
così? mentre se volessi fare $g \circ f$? come faccio a mettere nella variabile $t$ due variabili $x$ e $y$? $t = \arctan xy$?
up
up
certo sei stato chiarissimo non mi è chiarissimo quando sono lecite entrambe le composizioni
Di grazia: $f: RR^2\rightarrow RR$, mentre $g: RR\rightarrow RR^2$. Mi spieghi secondo quale astrusa definizione sarebbe possibile scrivere la funzione composta $g\circ f$?
"ciampax":
Di grazia: $f: RR^2\rightarrow RR$, mentre $g: RR\rightarrow RR^2$. Mi spieghi secondo quale astrusa definizione sarebbe possibile scrivere la funzione composta $g\circ f$?
Perché no?
Ehm, scusatemi ma probabilmente il mio PC ieri faceva l'imbecille.
1) l'ultima cosa che vedevo, come commenti, erano i due up di smaug; non c'erano i commenti di TeM e il mio risultava successivo a quello di smaug;
2) in realtà quando ho guardato ieri mi sembrava che non fossero verificate le condizioni che ha spiegato perfettamente TeM. Non ho idea del perché, ma mi sembrava che gli spazi di arrivo e partenza non fossero "componibili"... e riguardando quello che ho scritto sinceramente non lo so manco io perché l'ho scritto!
Pardon!
1) l'ultima cosa che vedevo, come commenti, erano i due up di smaug; non c'erano i commenti di TeM e il mio risultava successivo a quello di smaug;
2) in realtà quando ho guardato ieri mi sembrava che non fossero verificate le condizioni che ha spiegato perfettamente TeM. Non ho idea del perché, ma mi sembrava che gli spazi di arrivo e partenza non fossero "componibili"... e riguardando quello che ho scritto sinceramente non lo so manco io perché l'ho scritto!
Pardon!
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