Regola della catena

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Controllando la dimostrazione della regola della catena proposta dal mio testo di analisi, V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, vol. 2, (qui sotto) per verificare se si possa generalizzare per stabilire l'esistenza della derivata destra o sinistra di \(\boldsymbol{F}\) in $a$ e in $b$ per \(\boldsymbol{g}:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n\) derivabile da destra o da sinistra in $a$ o in $b$, mi sono accorto di un particolare della dimostrazione che non riesco a comprendere: come si può scrivere \(o(\|\boldsymbol{k}\|)\), o \(\frac{o(\|\boldsymbol{k}\|)}{\|\boldsymbol{k}\|}\), se non siamo certi che \(\boldsymbol{k}:=J_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{x})\boldsymbol{h}+o(\|\boldsymbol{h}\|)=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\) si mantenga non nullo per \(\boldsymbol{h}\to 0\), \(\boldsymbol{h}\ne 0\) (o, detto meglio, che \(\boldsymbol{h}\mapsto\boldsymbol{k}\) sia non nulla in un intorno bucato di $0$)?

$\infty$ grazie a tutti!!!

[Rigel1]

Ciò che scrivi è corretto; tuttavia, vedi subito che tutto si sistema se interpreti \(o(|k|) / k = 0\) nel caso \(k = 0\).
D'altra parte, una dimostrazione formalmente corretta è più pesante e nasconde la semplicità dell'idea sottostante; la puoi trovare, ad esempio, in Rudin, "Priciples...", thm. 9.15.

[DavideGenova1]

Uh, certo! Pensa che ho passato il pomeriggio a cercare di dimostrare che se \(\boldsymbol{g}\) è differenziabile, allora deve esistere un intorno bucato di $0$ tale che \(\boldsymbol{k}(\boldsymbol{h})\) sia non nulla (o sempre nulla, caso banale).
Quindi direi proprio, utilizzando la stessa dimostrazione, che tutto ciò vale anche intendendo le derivate destra o sinistra in un dato punto se \(\boldsymbol{g}\) ha per dominio un intervallo di $\mathbb{R}$, no? $\infty$ grazie ancora!!!

[Rigel1]

"DavideGenova":Quindi direi proprio, utilizzando la stessa dimostrazione, che tutto ciò vale anche intendendo le derivate destra o sinistra in un dato punto se \(\boldsymbol{g}\) ha per dominio un intervallo di $\mathbb{R}$, no? $\infty$ grazie ancora!!!

Direi di sì.

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie!!!