Regola composizione dei limiti
Salve a tutti rivedendo degli appunti di una mia amica (non sono potuto andare a lezione ) ho notato che la prof ha utilizzato passaggi diversi dal libro per spiegare che $lim_{x \to \x_0}g(f(x))=g(l)$ dove l è il limite.
La prof. è partita dalla considerazione che le funzioni f(x) e g(y) sono continue poi avendo g(f(x)) allora il punto di accumulazione di $g(y)=y_0$ è anche punto di accumulazione per f(x) .Poi (non capisco perchè utilizza le serie) presa una serie $x_n $ dice che anche il $lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x_0)=y_0$ che dunque $y_n=f(x_n)$ solo se non costanti ??? poi passa a dire che $g(y_n) -> g(y_0)$ dunque $lim_{n \to \infty}g(f(y_n))=y_0$ per il teorema ponte dunque $lim_{y \to \y_0}g(y)=m$ $lim_{x \to \x_0}g(f(x))=m$
sono certo che qualcosa non va bene , se qualcuno ha un po di tempo puo spiegarmi eventuali errori ed eventualmente passaggi corretti ne sarei veramente contento
grazie
La prof. è partita dalla considerazione che le funzioni f(x) e g(y) sono continue poi avendo g(f(x)) allora il punto di accumulazione di $g(y)=y_0$ è anche punto di accumulazione per f(x) .Poi (non capisco perchè utilizza le serie) presa una serie $x_n $ dice che anche il $lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x_0)=y_0$ che dunque $y_n=f(x_n)$ solo se non costanti ??? poi passa a dire che $g(y_n) -> g(y_0)$ dunque $lim_{n \to \infty}g(f(y_n))=y_0$ per il teorema ponte dunque $lim_{y \to \y_0}g(y)=m$ $lim_{x \to \x_0}g(f(x))=m$
sono certo che qualcosa non va bene , se qualcuno ha un po di tempo puo spiegarmi eventuali errori ed eventualmente passaggi corretti ne sarei veramente contento
grazie
Risposte
Guarda, non riesco proprio a seguirti in quello che hai scritto, se vuoi possiamo parlare dell'argomento da zero. Quella di cui si sta parlando è una proprietà delle funzioni continue di "commutatività" con l'operatore di limite.
In maniera suggestiva si può enunciare così: se $g:Y\toZ$ è una funzione continua, $f:X\toY$ è un'altra funzione, e $x_0\inX$ di accumulazione (forse questo si può anche saltare, ma è un dettaglio), allora possiamo dire che
$lim_{x\tox_0}g(f(x))=g(lim_{x\tox_0}f(x))$
ammesso che il limite a secondo membro esista (finito).
(Se vuoi possiamo parlare della dimostrazione di questo fatto. N.B.: non ho specificato cosa siano $X, Y, Z$, nel caso più generale possono essere spazi di Hausdorff, se non conosci questo concetto puoi pensarli come spazi metrici o, ancora pià concretamente, come sottoinsiemi di qualche $RR^n$).
Il fatto delle serie, invece, è assolutamente incomprensibile. Forse volevi dire successione? Magari stavi parlando della caratterizzazione del limite di funzione mediante limiti di successione?
In maniera suggestiva si può enunciare così: se $g:Y\toZ$ è una funzione continua, $f:X\toY$ è un'altra funzione, e $x_0\inX$ di accumulazione (forse questo si può anche saltare, ma è un dettaglio), allora possiamo dire che
$lim_{x\tox_0}g(f(x))=g(lim_{x\tox_0}f(x))$
ammesso che il limite a secondo membro esista (finito).
(Se vuoi possiamo parlare della dimostrazione di questo fatto. N.B.: non ho specificato cosa siano $X, Y, Z$, nel caso più generale possono essere spazi di Hausdorff, se non conosci questo concetto puoi pensarli come spazi metrici o, ancora pià concretamente, come sottoinsiemi di qualche $RR^n$).
Il fatto delle serie, invece, è assolutamente incomprensibile. Forse volevi dire successione? Magari stavi parlando della caratterizzazione del limite di funzione mediante limiti di successione?
"dissonance":
Guarda, non riesco proprio a seguirti in quello che hai scritto, se vuoi possiamo parlare dell'argomento da zero. Quella di cui si sta parlando è una proprietà delle funzioni continue di "commutatività" con l'operatore di limite.
In maniera suggestiva si può enunciare così: se $g:Y\toZ$ è una funzione continua, $f:X\toY$ è un'altra funzione, e $x_0\inX$ di accumulazione (forse questo si può anche saltare, ma è un dettaglio), allora possiamo dire che
$lim_{x\tox_0}g(f(x))=g(lim_{x\tox_0}f(x))$
ammesso che il limite a secondo membro esista (finito).
(Se vuoi possiamo parlare della dimostrazione di questo fatto. N.B.: non ho specificato cosa siano $X, Y, Z$, nel caso più generale possono essere spazi di Hausdorff, se non conosci questo concetto puoi pensarli come spazi metrici o, ancora pià concretamente, come sottoinsiemi di qualche $RR^n$).
Il fatto delle serie, invece, è assolutamente incomprensibile. Forse volevi dire successione? Magari stavi parlando della caratterizzazione del limite di funzione mediante limiti di successione?
si scusa un lapsus improvviso si volevo sapere come si caratterzza con i limiti di successione
nella dimostrazione pero di quello che hai scritto sopra lei ha utilizzato anche le successioni
mi pare che tutta la dimostrazione data dalla prof si basi sul seguente teorema:
"Siano $(X_1,d_1);(X_2,d_2)$ due spazi metrici, sia $E\subX_1$ e sia $p\in\der(E)$, sia $f:E->X_2$. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) $lim_(x->p)f(x)=l$
2)$lim_(xto+oo)f(x_n)=l$ con ${x_n}\subE,x_n!=p,x_n->p " se "nto+oo$"
(se non conosci la definizione di questo teorema te la mostro, che per tutta la parte dei limiti è essenziale in quanto ti rifai ale successioni)
"Siano $(X_1,d_1);(X_2,d_2)$ due spazi metrici, sia $E\subX_1$ e sia $p\in\der(E)$, sia $f:E->X_2$. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) $lim_(x->p)f(x)=l$
2)$lim_(xto+oo)f(x_n)=l$ con ${x_n}\subE,x_n!=p,x_n->p " se "nto+oo$"
(se non conosci la definizione di questo teorema te la mostro, che per tutta la parte dei limiti è essenziale in quanto ti rifai ale successioni)
"fu^2":
mi pare che tutta la dimostrazione data dalla prof si basi sul seguente teorema:
"Siano $(X_1,d_1);(X_2,d_2)$ due spazi metrici, sia $E\subX_1$ e sia $p\in\der(E)$, sia $f:E->X_2$. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) $lim_(x->p)f(x)=l$
2)$lim_(xto+oo)f(x_n)=l$ con ${x_n}\subE,x_n!=p,x_n->p " se "nto+oo$"
(se non conosci la definizione di questo teorema te la mostro, che per tutta la parte dei limiti è essenziale in quanto ti rifai ale successioni)
si è quesa ma non ho sentito parlare di spazi metrici
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo