Reali non standard
ho qualche domandina sui reali non standard, vi prego non linkatemi cose strane, che ne ho lette già parecchie ...
1) i reali non standard $RR$* formano un campo ordinato? (struttura algebrica di campo con operazioni continue rispetto alla topologia indotta dall'ordinamento)
2) il campo ordinato (se lo è!) mi pare che non sia completamente ordinato, ma è vero che l'immersione di $RR$ è ancora completamente ordinata in $RR$*?
3) denoto con $RR$ la sua immersione dentro $RR$*. è vero che $RR$ è un sottospazio topologico discreto di $RR$*?
4) come è fatta la topologia di $RR$*? In particolare è vero che ogni insieme $[a,b]\subsetRR$* è compatto?
1) i reali non standard $RR$* formano un campo ordinato? (struttura algebrica di campo con operazioni continue rispetto alla topologia indotta dall'ordinamento)
2) il campo ordinato (se lo è!) mi pare che non sia completamente ordinato, ma è vero che l'immersione di $RR$ è ancora completamente ordinata in $RR$*?
3) denoto con $RR$ la sua immersione dentro $RR$*. è vero che $RR$ è un sottospazio topologico discreto di $RR$*?
4) come è fatta la topologia di $RR$*? In particolare è vero che ogni insieme $[a,b]\subsetRR$* è compatto?
Risposte
Sì, l'estensione $RR^{**}$ dei reali è un campo ordinato che soddisfa al principio del "trasferimento" (cioè gli enunciati veri espressi al prim'ordine in $RR$ sono veri anche in $RR^{**}$.
ehm... e quali sono gli enunciati del prim'ordine?
potresti per favore rispondere esplicitamente alle mie domande e magari fammi qualche esempio (ad esempio perchè la proprietà archimedea non vale? è ovvio che non vale, però la posso enunciare in $RR$ e perchè questa non si trasferisce?)
potresti per favore rispondere esplicitamente alle mie domande e magari fammi qualche esempio (ad esempio perchè la proprietà archimedea non vale? è ovvio che non vale, però la posso enunciare in $RR$ e perchè questa non si trasferisce?)
Scusate l'intrusione. Secondo le mie (modeste, per ora) conoscenze di Algebra, con $\mathbb{R}$* si intende l'insieme $\mathbb{R}\setminus{0}$. Deve esserci qualcosa che mi sfugge. 
"matths87":
Deve esserci qualcosa che mi sfugge. .
Decisamente, sì!
Io avevo risposto alle prime due domande (dato che di topologia non so niente). Cioè il campo $RR$* (o anche *$RR$, così non ci si confonde con quello che ha detto mathhs87) è ordinato, e non completo, dato che la completezza è espressa col secondo ordine (cioè usa i quantificatori sui sottoinsiemi o su funzioni). Per quanto riguarda l'immersione non so cosa intendi..
"matths87":
Scusate l'intrusione. Secondo le mie (modeste, per ora) conoscenze di Algebra, con $\mathbb{R}$* si intende l'insieme $\mathbb{R}\setminus{0}$. Deve esserci qualcosa che mi sfugge.
No, si parla di tutta un'altra cosa...
Provo a dare qualche risposta:
2) Sicuramente no, dato che a meno di isomorfismi solo $RR$ è un campo ordinato, e certo $RR$* non è isomorfo ad $RR$.
4) No, perché dato un infinito $K$ posso ricoprire $[0,K]$ con i chiusi ${[0;n]}_(n in NN)$ senza riuscirne ad estrarre nessun sottoricoprimento finito.
3) Vuoi dire denso? Sì, è evidente dalle definizioni. Altrimenti per discreto che intendi?
3) per discreto intendo che ogni punto è isolato ... cioè l'opposto della densità. Evidentemente qui stiamo usando topologie diverse. Quale è la topologia di $RR$^*? ... Io, quando vedo un gruppo/anello/campo/quello che vuoi ordinato sottointendo la topologia indotta dall'ordine, ma forse in questo caso se ne usa un'altra.
5) Per quanto riguarda la completezza, magari lo possiamo completare, usando il teorema del completamento.. gli diamo un'adattatina
... credo che si riesca a mantenere l'ordinamento, ma si perde la struttura di campo, che rimane approssimativamente.
6) esiste una maniera per visualizzare algebricamente questo campo? mi spiego: da qualche parte ho letto che si può pensare come una sorta di $RR^2$, dove la seconda componenti è il coefficiente dell'infinitesimo $dx$. Questo mi pare una gran cazzata, perchè altrimenti non si sa dove finiscono il $(dx)^2$ e peggio ancora $1/(dx)$. Io pensavo che una buona rappresentazione sarebbe tramite serie di Laurent formali $\sum_{k= -m}^na_k(dx^k)$ al variare di $n,m$ interi positivi, $a_k\inRR$, dotati della solita somma e del prodotto e dell'ordinamento lessicografico inverso (cioè si parte dal confrontare la componente $n$-esima.
5) Per quanto riguarda la completezza, magari lo possiamo completare, usando il teorema del completamento.. gli diamo un'adattatina
... credo che si riesca a mantenere l'ordinamento, ma si perde la struttura di campo, che rimane approssimativamente.6) esiste una maniera per visualizzare algebricamente questo campo? mi spiego: da qualche parte ho letto che si può pensare come una sorta di $RR^2$, dove la seconda componenti è il coefficiente dell'infinitesimo $dx$. Questo mi pare una gran cazzata, perchè altrimenti non si sa dove finiscono il $(dx)^2$ e peggio ancora $1/(dx)$. Io pensavo che una buona rappresentazione sarebbe tramite serie di Laurent formali $\sum_{k= -m}^na_k(dx^k)$ al variare di $n,m$ interi positivi, $a_k\inRR$, dotati della solita somma e del prodotto e dell'ordinamento lessicografico inverso (cioè si parte dal confrontare la componente $n$-esima.
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