Re: Studio convergenza successione di funzione
Ho questa semplice successione di funzione di cui devo studiare la convergenza puntuale e uniforme
Per studiare la convergenza puntuale faccio:
Quindi la successione converge a $f(x)$ su tutto $RR$
Per studiare la convergenza uniforme calcolo
Noto che per $x=0$ avremmo 0 quindi calcolo il sup su $RR-{0}$
Avendo
Calcolo la derivata di $(n^2x^2)/(1+n^2x^2)-1$ trascurando il valore assoluto, ottenendo $2n^2x/(1+n^2x^2)^2$, quindi la derivata non si annulla mai $AA x in RR -{0}$
Quindi tale derivata mi suggerisce che è la funzione cresce per $x>0$ e invece decresce per $x<0$, quindi ai fini del calcolo del sup calcolo i limiti agli estremi dell intervallo quindi
Il sup essendo nullo, anche mandando n all'infinito sarà nullo, quindi la successione di funzione converge uniformemente tranne in 0, volevo sapere se il procedimento che ho utilizzato è corretto, togliendo il valore assoluto per studiare la funzione. Inoltre studiando il sup per x=0, il sup risulterebbe 0, ma la successione non potrebbe convergere uniformemente verso f visto che essa è discontinua in 0, cosa sbaglio?
$f_n(x) = (n^2x^2)/(1+n^2x^2)$
Per studiare la convergenza puntuale faccio:
$\lim_{n \to \infty}f_n ={(1,if x!=0),(0,if x=0):} = f(x)$
Quindi la successione converge a $f(x)$ su tutto $RR$
Per studiare la convergenza uniforme calcolo
$text(sup) abs(f_n(x)-f(x))$ su $RR$
Noto che per $x=0$ avremmo 0 quindi calcolo il sup su $RR-{0}$
Avendo
$text(sup) abs((n^2x^2)/(1+n^2x^2)-1)$ su $RR-{0}$
Calcolo la derivata di $(n^2x^2)/(1+n^2x^2)-1$ trascurando il valore assoluto, ottenendo $2n^2x/(1+n^2x^2)^2$, quindi la derivata non si annulla mai $AA x in RR -{0}$
Quindi tale derivata mi suggerisce che è la funzione cresce per $x>0$ e invece decresce per $x<0$, quindi ai fini del calcolo del sup calcolo i limiti agli estremi dell intervallo quindi
$abs( \lim_{x \to \+infty} (n^2x^2)/(1+n^2x^2)-1) = 0$
$abs( \lim_{x \to \-infty} (n^2x^2)/(1+n^2x^2)-1) = 0$
Il sup essendo nullo, anche mandando n all'infinito sarà nullo, quindi la successione di funzione converge uniformemente tranne in 0, volevo sapere se il procedimento che ho utilizzato è corretto, togliendo il valore assoluto per studiare la funzione. Inoltre studiando il sup per x=0, il sup risulterebbe 0, ma la successione non potrebbe convergere uniformemente verso f visto che essa è discontinua in 0, cosa sbaglio?
Risposte
la convergenza puntuale è corretta.
quello che hai fatto per la convergenza uniforme invece non l'ho capito. perchè calcoli i limiti agli estremi del dominio? a te serve di sapere dove la funzione assume il sup (e per farlo vai a studiare in genere la derivata). inizialmente comunque puoi già dire che su $RR$ sicuramente non hai convergenza uniforme perchè il limite puntuale è discontinuo mentre $f_n$ è continua. dopo io osserverei che la funzione è pari e quindi studierei solo
per farlo calcola la derivata e vedi che comportamento ha nell'intervallo considerato. a quel punto trovato il punto $x=barx$ dove la funzione assume il sup, lo sostituisci nel sup e calcoli il limite per $n->+oo$ e vedi se fa zero.
quello che hai fatto per la convergenza uniforme invece non l'ho capito. perchè calcoli i limiti agli estremi del dominio? a te serve di sapere dove la funzione assume il sup (e per farlo vai a studiare in genere la derivata). inizialmente comunque puoi già dire che su $RR$ sicuramente non hai convergenza uniforme perchè il limite puntuale è discontinuo mentre $f_n$ è continua. dopo io osserverei che la funzione è pari e quindi studierei solo
$ \text{sup}_(x in (0,+oo))|f_n-1| $
per farlo calcola la derivata e vedi che comportamento ha nell'intervallo considerato. a quel punto trovato il punto $x=barx$ dove la funzione assume il sup, lo sostituisci nel sup e calcoli il limite per $n->+oo$ e vedi se fa zero.
Grazie per la risposta, cmq io nel calcolare in sup in $RR-{0}$ ho calcolato la derivata ed essa si annulla solo in 0, che é fuori dall intervallo in cui calcolo il sup, quindi la derivata mi suggerisce che per x > 0 $f_n$ é crescente, quindi il sup sará Nell estremo superiore, ecco percje faccio il limite
"CristianMascia":
quindi il sup sará Nell estremo superiore
il sup È l'estremo superiore. come hai notato giustamente in $x in (0,+oo)$ hai che la tua successione di funzioni è crescente e quindi puoi concludere che $\text{sup} |f_n - 1|= +oo$. quindi la convergenza non è uniforme. ora puoi restringerti a calcolarla su dei sottoinsiemi di $(0,+oo)$ (che analogament si riflettono su $(-oo,0)$ )
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