Razionali ed irrazionali, periodici e non
Ciao, amici! Mi è sempre stato detto a scuola che i numeri razionali sono quelli o periodici o che si possono scrivere con una quantità finita di cifre decimali, mentre quelli irrazionali sono tutti e soli quelli che si scriverebbero con infiniti decimali senza essere periodici, diciamo quindi (per i numeri irrazionali positivi) della forma \(n+\sum_{k=1}^{\infty} c_k\cdot 10^{-k}\), \(n\in\mathbb{N}\), \(\forall k\quad c_k\in\mathbb{N},\) \(c_k\le 9\). Non ne ho mai trovato però una dimostrazione.
Qualcuno ne conosce una o saprebbe fornire un link ad essa?
$\infty$ grazie a tutti!
Qualcuno ne conosce una o saprebbe fornire un link ad essa?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Guardando su Wikipedia alla voce "Numero decimale periodico" trovi la relazione che lega le frazioni ai numeri periodici, dopodiché si dimostra che $\mathbb{Q}$ ha dei "buchi", lo si completa, e per definizione i "buchi tappati" si chiamano irrazionali, che non possono essere periodici, altrimenti (come spiegato nella pagina di Wikipedia) si potrebbero scrivere come frazioni e quindi sarebbero elementi di $\mathbb{Q}$.
Mi è però anche capitato di trovare alcuni testi che definivano un numero razionale come un numero che ha un allineamento periodico (compreso il periodo $0$), irrazionale altrimenti. In questo caso non ci sarebbe nulla da dimostrare dato che è la definizione.
Questo (http://www.math.unipd.it/~ponno/docs/La ... teMatA.pdf) è il primo riferimento che ho trovato, prova a dargli un'occhiata ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Indipendentemente dal tipo di dimostrazione che cerchi, a integrazione di quanto riportato da billyballo2123 nella prima risposta, puoi pensare alla questione inversa: dai numeri naturali si passa ai numeri razionali ... perché le quattro operazioni elementari siano leggi di composizione interna (ho messo i puntini perché somma e moltiplicazione sono interne anche in $NN$, viene introdotto $ZZ$ per la sottrazione, viene introdotto $QQ_a$ per la divisione e $QQ$ per tutte ...).
pensa quindi alla divisione come frazione, e pensa ad una frazione ridotta ai minimi termini: quanti sono i possibili resti?
se il discorso precedente è chiaro, pensa all'algoritmo della divisione, e saprai perché devi ottenere un numero periodico.
N.B.: io mi diverto a proporre in prima superiore la divisione $12/7$ alla lavagna con l'algoritmo della divisione.
Io sono solita dire che un numero è razionale se dopo un numero finito di passi conosci tutte le cifre decimali.
Naturalmente, e qui mi ricollego a quanto detto anche da billyballo2123, in questo discorso rientra anche l'irrazionalità di $sqrt 2$ o tanti altri numeri.
pensa quindi alla divisione come frazione, e pensa ad una frazione ridotta ai minimi termini: quanti sono i possibili resti?
se il discorso precedente è chiaro, pensa all'algoritmo della divisione, e saprai perché devi ottenere un numero periodico.
N.B.: io mi diverto a proporre in prima superiore la divisione $12/7$ alla lavagna con l'algoritmo della divisione.
Io sono solita dire che un numero è razionale se dopo un numero finito di passi conosci tutte le cifre decimali.
Naturalmente, e qui mi ricollego a quanto detto anche da billyballo2123, in questo discorso rientra anche l'irrazionalità di $sqrt 2$ o tanti altri numeri.
$\infty$ grazie a tutti e 3!
Non mi resta quindi che dimostrare che un numero razionale è periodico, fatto su cui dà uno spunto Ada, ma non riesco ad usarlo...
"billyballo2123":Bella, la dimostrazione della Wikipedia che un numero decimale periodico è razionale.
Guardando su Wikipedia alla voce "Numero decimale periodico" trovi la relazione che lega le frazioni ai numeri periodici
Non mi resta quindi che dimostrare che un numero razionale è periodico, fatto su cui dà uno spunto Ada, ma non riesco ad usarlo...
Se dai un'occhiata al link forse fai prima ... 
i possibili resti sono pari al divisore (da 0 al "divisore meno 1"):
procedendo nell'algoritmo della divisione, se ottieni uno 0 tra i divisori, hai un numero finito di cifre dopo la virgola,
altrimenti il numero è illimitato periodico (nell'esempio che ti proponevo ci sono 6 cifre che si ripetono, perché trovi tutti i possibili resti da 1 a 6): la divisione "termina" quando ottieni un resto uguale ad uno già incontrato in precedenza.
procedendo nell'algoritmo della divisione, se ottieni uno 0 tra i divisori, hai un numero finito di cifre dopo la virgola,
altrimenti il numero è illimitato periodico (nell'esempio che ti proponevo ci sono 6 cifre che si ripetono, perché trovi tutti i possibili resti da 1 a 6): la divisione "termina" quando ottieni un resto uguale ad uno già incontrato in precedenza.
Già, come esplicitato nei dettagli nel documento linkato da axpgn a p. 10, teorema 1.9(i). Grazie a tutti!!!!!
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