Rappresentazione polare numeri complessi

[andrea.corzino]

Salve, avrei un dubbio su questo "semplice"esercizio che chiede di rappresentare in forma polare il seguente numero complesso:

$ z=-2[cosalpha+i(-senalpha)] $ con $ alphain R $

In pratica
$ a=-2cosalpha $
$ b=2senalpha $

E fin qui ok- Poi per trovare l'angolo $ vartheta $ che caratterizza il generico numero complesso $ z $ nella corrispettiva rappresentazione polare $ z=rho(cosvartheta +isenvartheta ) $ trovo come metodo risolutivo il seguente anche se non mi è ben chiaro:

$ vartheta =arctg(-(senalpha)/cosalpha)=arctg(-tgalpha)=arctg(tg(pi-alpha))=pi-alpha $

Ecco non sono molto sicuro del penultimo passaggio $ arctg(-tgalpha)=arctg(tg(pi-alpha)) $ ...
Cioè perchè fa questa sostituzione da alpha a pigreco- alpha??
Io so che in genere per convenzione si cerca sempre che l'argomento del numero complesso $ vartheta $ si cerca sempre di esprimerlo,per convenzione, in un intervallo di valori compreso tra $ (0,2pi] $ (forse alcuni usano anche la convenzione (-pi,pi] )...Ma non so se sia questo il motivo.

GRazie!

[luc.mm]

La tangente viene invertita di solito tra $ -pi/2 $ e $ pi/2 $ e infatti l'arcotange ti può fornire solo numeri entro questi valori. Visto che l'altra metà degli argomenti dei tuoi numeri complessi non viene rappresentata, a seconda del quadrante in cui si trovano la formula cambia. https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresen ... _complessi dai un'occhiata.

[andrea.corzino]

"luc.mm":La tangente viene invertita di solito tra $ -pi/2 $ e $ pi/2 $ e infatti l'arcotange ti può fornire solo numeri entro questi valori. Visto che l'altra metà degli argomenti dei tuoi numeri complessi non viene rappresentata, a seconda del quadrante in cui si trovano la formula cambia. https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresen ... _complessi dai un'occhiata.

Ah,ecco!

Grazie

[gugo82]

Le "formule preconfezionate" sono da usare con moderazione, soprattutto quando non si conoscono le ipotesi giuste per poterle applicare.

Ragionando in maniera molto elementare, cioè ricordando le proprietà basilari delle funzioni seno e coseno (note dalle scuole secondarie), si può scrivere:
\[
2\Big( \cos \alpha +\imath (-\sin \alpha)\Big) = 2\Big( \cos (-\alpha ) +\imath \sin (-\alpha )\Big)\; ;
\]
dunque:
\[
|z| = 2 \quad \text{e}\quad \operatorname{arg} (z) = -\alpha\; .
\]

[andrea.corzino]

"gugo82":Le "formule preconfezionate" sono da usare con moderazione, soprattutto quando non si conoscono le ipotesi giuste per poterle applicare.

Ragionando in maniera molto elementare, cioè ricordando le proprietà basilari delle funzioni seno e coseno (note dalle scuole secondarie), si può scrivere:
\[
2\Big( \cos \alpha +\imath (-\sin \alpha)\Big) = 2\Big( \cos (-\alpha ) +\imath \sin (-\alpha )\Big)\; ;
\]
dunque:
\[
|z| = 2 \quad \text{e}\quad \operatorname{arg} (z) = -\alpha\; .
\]

grazie !
Ma il meno davanti al 2 non l'hai considerato ?