Rappresentazione integrale di Cauchy

[5mrkv]

:premetto due teoremi, poi la domanda.

Teorema integrale di Cauchy :
$1.$ $f(z)$ olomorfa in $D$.
$2.$ $D\subseteq \mathbb{C}$ aperto e semplicemente connesso.
$3.$ Curva $\gamma$ di Jordan, regolare a tratti e $Im(\gamma)\subseteq D$.
$=>$
$\oint f(z)dz=0$ con $z=z(t)$ parametrizzazione della curva $\gamma$.

Teorema della rappresentazione integrale di Cauchy:
$1.$ $f(z)$ olomorfa in $D$.
$2.$ $D\subseteq \mathbb{C}$ aperto e semplicemente connesso.
$3.$ Curva $\gamma$ di Jordan, regolare a tratti e $Im(\gamma)\subseteq D$.
$4.$ $z \notin Im(\gamma)$.
$=>$
$\frac{1}{2 \pi i}\oint \frac{f(z^{,})}{z^{,}-z}dz^{,}=f(z)$ (con $z^{,}=z^{,}(t)$) se $z$ è interno all'area interna descritta da $\gamma$
$\frac{1}{2 \pi i}\oint \frac{f(z^{,})}{z^{,}-z}dz^{'}=0$ (con $z^{,}=z^{,}(t)$) se $z$ è esterno all'area interna descritta da $\gamma$

Il problema è:

Nel caso in cui $z$ stia fuori, come faccio a ricondurmi al primo teorema citato? Ovvero. Ho la seconda condizione, ho la terza condizione, mi manca la prima allora. Ma quando la funzione $g(z^{,})=\frac{f(z^{,})}{z^{,}-z}$ è olomorfa in $D$? O meglio, perché diventa olomorfa quando $z \notin$ area interna di $\gamma$?

[5mrkv]

Riformulo la domanda. Dato il primo, devo dimostrare il secondo teorema. La prima parte dice che $\frac{1}{2 \pi i}\oint \frac{f(z^{,})}{z^{,}-z}dz^{'}=0$ se $z$ è esterno all'area interna descritta da $\gamma$. Significa che devo ricondurmi al primo teorema. In questo caso il secondo punto (del primo teorema) è rispettato, il terzo (del primo teorema) pure. Per quale motivo il primo punto (del primo teorema) è rispettato con la funzione $g(z^{,})=\frac{f(z^{,})}{z^{,}-z}$ che risulta olomorfa allorquando $z$ è fuori?

[Sk_Anonymous]

Se $f(z)$ è olomorfa in $D$ e se $z_0 notin D$, allora $f(z)/(z-z_0)$ è olomorfa in $D$. Infatti, puoi vedere $f(z)/(z-z_0)$ come prodotto di due funzioni olomorfe in $D$, $f(z)$ e $1/(z-z_0)$ se $z_0 notin D$.

[5mrkv]

Con $z=z_0 \notin D$ intendi $z_0 \notin$ all'insieme limitato racchiuso da $\gamma$ o proprio fuori da $D$? E perché $h(z_0)=\frac{1}{z-z_0}$ non è più olomorfa in questo caso? L'unico problema che riesco a vedere è in $z=z_0$ e basta.

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":
Con $z=z_0 \notin D$ intendi $z_0 \notin$ all'insieme limitato racchiuso da $\gamma$ o proprio fuori da $D$?

Una volta fissata $\gamma$, quella rappresentazione integrale fornisce $f(z_0)$ se $z_0$ è interno al dominio racchiuso da $\gamma$, $0$ se $z_0$ è esterno al dominio racchiuso da $\gamma$. In ogni modo, essendo $D$ aperto e $\gamma$ arbitraria, quella rappresentazione integrale può estendersi a piacere prendendo $\gamma$ sempre più "vicina", e sto utilizzando un termine improprio, alla frontiera di $D$.

"5mrkv":
E perché $h(z_0)=\frac{1}{z-z_0}$ non è più olomorfa in questo caso? L'unico problema che riesco a vedere è in $z=z_0$ e basta.

Se $z_0$ è interno al dominio racchiuso da $\gamma$, proprio perchè $f(z)/(z-z_0)$ non è olomorfa in questo dominio, quella rappresentazione integrale fornisce $f(z_0)$ e non $0$. Viceversa, se $z_0$ è esterno al dominio racchiuso da $\gamma$, essendo $f(z)/(z-z_0)$ olomorfa in questo dominio, quella rappresentazione integrale non può che fornire $0$.

In ogni modo, ti invito a riflettere più attentamente in quanto, essendo il risultato piuttosto evidente, ho l'impressione che tu stia facendo un po' di confusione.

[5mrkv]

Ma il fatto che fonisce $0$ in un caso e $f(z_0)$ nell'altro l'ho capito, è conseguenza del teorema. Quello che non capisco, mi hai detto di vedere $g(z_0)$ come prodotto di funzioni olomorfe, è per quale motivo $\frac{1}{z-z_0}$ sia olomorfa fuori e non lo sia dentro. Basta che mi dici perché è ovvio.

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":
Quello che non capisco, mi hai detto di vedere $g(z_0)$ come prodotto di funzioni olomorfe, è per quale motivo $\frac{1}{z-z_0}$ sia olomorfa fuori e non lo sia dentro.

In generale, $1/(z-z_0)$ è olomorfa in un qualunque dominio non contenente $z_0$, essendo quest'ultimo un polo del primo ordine. Quindi, se $z_0$ è interno al dominio, $f(z)/(z-z_0)$ non è olomorfa nel dominio in quanto ha un polo del primo ordine all'interno del dominio. Viceversa, se $z_0$ è esterno al dominio, $f(z)/(z-z_0)$ è olomorfa nel dominio in quanto ha un polo del primo ordine ma fuori dal dominio.

[5mrkv]

Non avevo idea di questa cosa.