Rappresentazione integrale di Cauchy

[amedeo_mate]

Consideriamo la formula di rappresentazione integrale:
$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma }\frac{f(z')}{z'-z}dz'$
se considero la funzione $f(z)=z$ e come curva il cerchio di raggio $\rho$, $\rho e^{i\theta }$dovrò avere:
$z=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi }\frac{\rho e^{i\theta }}{\rho e^{i\theta }-z}\rho e^{i\theta }id\theta =
\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\frac{(\rho e^{i\theta} )^{2}}{\rho e^{i\theta }-z}d\theta $
Ma questo integrale ho provato a farlo con Wolfram Mathematica e mi da sempre 0. Dov'è che sbaglio?

[Plepp]

Non puoi scegliere $\gamma$ a piacere: $\gamma$ deve essere $CC\setminus {z}$-omotopa alla circonferenza di centro $z$ e raggio $\epsilon$ (con $epsilon$ piccolo a sufficienza) affinché valga la relazione che hai scritto. Ciò accade per esempio se $\gamma=C_\rho(0)$ è un cerchio centrato nell'origine di raggio $\rho>|z|$. In tal caso si ha:
\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{w}{w-z}\text{d}w=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{C_\varepsilon(z)}\dfrac{w}{w-z}\text{d}w=\dfrac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi}\dfrac{z+\varepsilon e^i\theta}{\varepsilon e^{i \theta}}\varepsilon e^{i\theta}\text{d}\theta=\\
=\dfrac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi}z+\varepsilon e^{i\theta}\text{d}\theta=z
\]

[amedeo_mate]

ok. Ma la parametrizzazione della curva di centro 0 e raggio epsilon non è $\epsilon e^{i\theta }$?
Un'altra domanda: perchè con la curva che ho considerato il risultato è sempre nullo?

[Plepp]

"amedeo_mate":ok. Ma la parametrizzazione della curva di centro 0 e raggio epsilon non è $\epsilon e^{i\theta }$?

"Plepp":[...] alla circonferenza di centro $ z $ e raggio $ \epsilon $ [...]

Sinceramente non mi viene in mente come Wolfram possa dare zero come risultato