Rappresentazione in modo qualitativo grafico soluzione problema di Cauchy
Buongiorno a tutti ,ho un esercizio che non capisco che riguarda Cauchy.
Allego l'esercizio ( Domanda 45 ). Chiunque riuscisse a capire l'esercizio, per favore potrebbe dirmi come ha fatto ??
Grazie Mille!!!!
Allego l'esercizio ( Domanda 45 ). Chiunque riuscisse a capire l'esercizio, per favore potrebbe dirmi come ha fatto ??
Grazie Mille!!!!
Risposte
Ciao, non so se hai risolto, in caso contrario credo che analizzare un problema simile ma semplificato possa servire.
Per esempio l'equazione $y'=y-y^2$ , corrispondente a sostituire la funzione $f(y)$ del tuo esercizio con una parabola.
Trovare e graficare gli integrali singolari ($y=1$ ed $y=0$) e alcuni casi della soluzione generale (salvo miei errori
dovrebbe essere la famiglia di funzioni $y=(Ke^x)/(1+Ke^x)$ o qualcosa di simile, in ogni caso l'equazione è facilmente
risolvibile) fornisce uno spunto su come procedere nel tuo caso.
Le soluzioni dell'equazione proposta sono quattro rette orizzontali corrispondenti agli integrali singolari $y=-3$,
$y=-2" "$ eccetera, cioè gli zeri di $f(y)$, tra ogni coppia delle quali rami di curva qualitativamente simili ad una
sigmoide (la curva rappresentativa dell'arcotangente) crescente o decrescente secondo che nell'intervallo compreso tra i
due zeri di $f(y)$ la medesima sia rispettivamente positiva o negativa, ciascuna con un flesso collocato nell'ordinata $y$
che nel grafico di $f(y)$ si colloca come ordinata del punto stazionario compreso tra i due zeri (in relazione al fatto che
un massimo di $y'=f(y)$ corrisponde ad uno zero della sua derivata $y''$ e dunque ad un flesso di $y(x)" "$).
Di queste prendi quella che soddisfa la condizione al contorno, cioè quella passante per il punto $(0,1)$.
Ovviamente mi auguro che altri utenti propongano approcci migliori.
Per esempio l'equazione $y'=y-y^2$ , corrispondente a sostituire la funzione $f(y)$ del tuo esercizio con una parabola.
Trovare e graficare gli integrali singolari ($y=1$ ed $y=0$) e alcuni casi della soluzione generale (salvo miei errori
dovrebbe essere la famiglia di funzioni $y=(Ke^x)/(1+Ke^x)$ o qualcosa di simile, in ogni caso l'equazione è facilmente
risolvibile) fornisce uno spunto su come procedere nel tuo caso.
Le soluzioni dell'equazione proposta sono quattro rette orizzontali corrispondenti agli integrali singolari $y=-3$,
$y=-2" "$ eccetera, cioè gli zeri di $f(y)$, tra ogni coppia delle quali rami di curva qualitativamente simili ad una
sigmoide (la curva rappresentativa dell'arcotangente) crescente o decrescente secondo che nell'intervallo compreso tra i
due zeri di $f(y)$ la medesima sia rispettivamente positiva o negativa, ciascuna con un flesso collocato nell'ordinata $y$
che nel grafico di $f(y)$ si colloca come ordinata del punto stazionario compreso tra i due zeri (in relazione al fatto che
un massimo di $y'=f(y)$ corrisponde ad uno zero della sua derivata $y''$ e dunque ad un flesso di $y(x)" "$).
Di queste prendi quella che soddisfa la condizione al contorno, cioè quella passante per il punto $(0,1)$.
Ovviamente mi auguro che altri utenti propongano approcci migliori.
Ciao Palliit grazie mille ma quindi alla fine il grafico come dovrebbe uscire . Mi mandi una foto ??
Mi sembra (sempre salvo il fatto che esistano metodi migliori) che l'indicazione che ti ho dato sia chiara, prova tu a ricavarlo, e se posti tu una foto la discutiamo.
Ciao Palliit, scusa ma sui problemi di Cauchy sono proprio negato. Ci sono un pò di cose che non ho capito su quello che hai scritto:
1) Come hai fatto a passare dal'equazione y' = y−y^2 a quella y=K*e^x/1+K*e^x e ha trovare i punti y=1 e y=0
2)Come hai fatto a trovare le soluzione dell'equazione se hai K nell'equazione
3) Termine "sigmoide" ???
4)Ma se il professore mi dovesse chiedere questo esercizio , io posso fare la sostituzione che hai fatto te ovvero l'equazione y'= f( y ) la cambio in y'=y−y^2 ??
Veramente mi daresti una grossa mano a risolvere questo esercizio , anche perché non riesco nemmeno a trovare un esempio ne sul mio libro ne su internet.
Grazie Mille
1) Come hai fatto a passare dal'equazione y' = y−y^2 a quella y=K*e^x/1+K*e^x e ha trovare i punti y=1 e y=0
2)Come hai fatto a trovare le soluzione dell'equazione se hai K nell'equazione
3) Termine "sigmoide" ???
4)Ma se il professore mi dovesse chiedere questo esercizio , io posso fare la sostituzione che hai fatto te ovvero l'equazione y'= f( y ) la cambio in y'=y−y^2 ??
Veramente mi daresti una grossa mano a risolvere questo esercizio , anche perché non riesco nemmeno a trovare un esempio ne sul mio libro ne su internet.
Grazie Mille
1) l'ho risolta, è una banale equazione a variabili separabili, posso aver sbagliato qualche conto perché l'ho fatta un po' in fretta ma è un'equazione differenziale tra le più elementari; le soluzioni singolari si trovano cercando le costanti che rendono l'equazione un'identità
2) assegnando al parametro valori arbitrari ottieni il grafico di alcune delle curva del fascio;
3) "sigmoide" è il termine usato (poco per la verità) per designare la forma della curva corrispondente alla funzione: $y="arc" tanx$, che suppongo tu sappia com'e fatta, mi sembra di averlo già esposto;
4) quello che ti ho proposto io è un esercizio differente da quello che devi risolvere, più semplice ma analogo e che quindi potrebbe aiutare a capire come risolvere il tuo. Se il tuo prof ti propone un esercizio e tu ne svolgi un altro non credo che ne sia entusiasta.
In tutta franchezza ho la sensazione che il tuo sia un problema di preparazione insufficiente, che non posso risolvere io risolvendoti un esercizio su un forum.
2) assegnando al parametro valori arbitrari ottieni il grafico di alcune delle curva del fascio;
3) "sigmoide" è il termine usato (poco per la verità) per designare la forma della curva corrispondente alla funzione: $y="arc" tanx$, che suppongo tu sappia com'e fatta, mi sembra di averlo già esposto;
4) quello che ti ho proposto io è un esercizio differente da quello che devi risolvere, più semplice ma analogo e che quindi potrebbe aiutare a capire come risolvere il tuo. Se il tuo prof ti propone un esercizio e tu ne svolgi un altro non credo che ne sia entusiasta.
In tutta franchezza ho la sensazione che il tuo sia un problema di preparazione insufficiente, che non posso risolvere io risolvendoti un esercizio su un forum.
Più che altro palliit non so come ricavare la funzione del disegno perchè a me il professore chiede quella.
Volevo chiederti se potevi per lo meno farmi vedere il disegno sul grafico dell'esercizio cosi capisco i vari passaggi che mi ha scritto. Grazie Mille
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