Rappresentazione grafica insiemi
Propongo di seguito uno studio di un insieme al fine di descriverlo e rappresentarlo:
$K={(x,y,z)inRR^3: |x|<=y<=2 , sqrt(x^2+y^2)>=2 , 0<=z<=1/(sqrt(x^2+y^2)) }$
Ho analizzato le condizioni e nel piano $xy$ ho capito che racchiude la porzione di piano delimitata
- superiormente da $y=2$
- lateralmente dalle rette bisettrici del $I$ e $II$ quadrante
- inferiormente dalla circonferenza di raggio 2
La condizione per $z$ mi mette un po' in difficoltà; ho iniziato a ragionare con le coordinate cilindriche, avendo ben servita la condizione per $rho=sqrt(x^2+y^2)$ ed essendo $z$ dipendente da $rho$.
In tal modo mi risulta
- dalla prima condizione $thetain[pi/4,3/4pi]$
- dalla seconda banalmente $rho>=2$
- dalla terza $0<=z<=1/2 $
Ora provando a disegnare il tutto nello spazio generato dagli assi $rho, theta, z$ mi ritrovo con una porzione di spazio illimitata non avendo condizioni che limitano superiormente $rho$
Ed essendo $K$ un solido di rotazione attorno all'asse $z$ mi trovo di fronte ad una incongruenza.
Quindi sicuramente sto sbagliando qualcosa, ma non capisco cosa.
Come sempre, Grazie in anticipo per l'attenzione.
$K={(x,y,z)inRR^3: |x|<=y<=2 , sqrt(x^2+y^2)>=2 , 0<=z<=1/(sqrt(x^2+y^2)) }$
Ho analizzato le condizioni e nel piano $xy$ ho capito che racchiude la porzione di piano delimitata
- superiormente da $y=2$
- lateralmente dalle rette bisettrici del $I$ e $II$ quadrante
- inferiormente dalla circonferenza di raggio 2
La condizione per $z$ mi mette un po' in difficoltà; ho iniziato a ragionare con le coordinate cilindriche, avendo ben servita la condizione per $rho=sqrt(x^2+y^2)$ ed essendo $z$ dipendente da $rho$.
In tal modo mi risulta
- dalla prima condizione $thetain[pi/4,3/4pi]$
- dalla seconda banalmente $rho>=2$
- dalla terza $0<=z<=1/2 $
Ora provando a disegnare il tutto nello spazio generato dagli assi $rho, theta, z$ mi ritrovo con una porzione di spazio illimitata non avendo condizioni che limitano superiormente $rho$
Ed essendo $K$ un solido di rotazione attorno all'asse $z$ mi trovo di fronte ad una incongruenza.
Quindi sicuramente sto sbagliando qualcosa, ma non capisco cosa.
Come sempre, Grazie in anticipo per l'attenzione.
Risposte
"ekim":
... mi ritrovo con una porzione di spazio illimitata non avendo condizioni che limitano superiormente $rho$ ...
Veramente, $\rho$ è limitato dalle prime due condizioni:
$2 lt= \rho lt= 2sqrt2$
Grazie Sergeant Elias!
Non mi ero accorto..
Inoltre mi rendo conto ora che non può essere l' insieme tridimensionale una rotazione attorno a z; bensì una rotazione attorno a x di un angolo $alpha=pi/6$ di modo che $sinalpha=z$ sia compreso tra $0$ e $1/2$.
Chiedo gentilmente conferma, scusandomi per la tarda risposta.
Non mi ero accorto..
Inoltre mi rendo conto ora che non può essere l' insieme tridimensionale una rotazione attorno a z; bensì una rotazione attorno a x di un angolo $alpha=pi/6$ di modo che $sinalpha=z$ sia compreso tra $0$ e $1/2$.
Chiedo gentilmente conferma, scusandomi per la tarda risposta.
Premesso che non ho ben capito il tuo ultimo intervento, si tratta del volume compreso tra il piano xy e la superficie di rotazione rispetto all'asse z di equazione:
limitatamente all'insieme del piano xy rappresentato nel mio messaggio precedente.
$z=1/sqrt(x^2+y^2)$
limitatamente all'insieme del piano xy rappresentato nel mio messaggio precedente.
praticamente quello che si fa è intersecare lo spazio $A={(x,y,z)inRR^3:(x,y)inOmega , z inRR}$ (dove $Omega$ è la parte di piano $xy$ delineata nel grafico nel secondo messaggio) e lo spazio
$B={(x,y,z)inRR^3: z=1/sqrt(x^2+y^2)}$
quindi $AnnB=K$ ?
dove con K riprendo l'insieme del primo messaggio
$B={(x,y,z)inRR^3: z=1/sqrt(x^2+y^2)}$
quindi $AnnB=K$ ?
dove con K riprendo l'insieme del primo messaggio
Non proprio:
Con:
$AnnB=K$ rappresenterebbe solo i punti appartenenti alla superficie.
$B={(x,y,z) in RR^3: 0 lt= z lt= 1/sqrt(x^2+y^2)}$
Con:
$B={(x,y,z) in RR^3: z=1/sqrt(x^2+y^2)}$
$AnnB=K$ rappresenterebbe solo i punti appartenenti alla superficie.
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