Rappresentazione delle funzioni composte
Mi sono stati chiusi tutti i topic sulle funzioni (a parte questo ), ma se postassi lì andrei palesemente in OFF TOPIC; dunque, per non violare il regolamento, sono costretto ad aprire questo thread.
@speculor: quando hai chiuso questo mi hai detto: "vedi discussione chilometrica di alcuni mesi or sono". Ma io lì purtroppo non vedo risposte, dunque sono costretto ad aprire un nuovo argomento (o almeno ci provo)
Probabilmente molti che leggeranno questo topic penseranno che perdo tempo a fare domande stupide, senza senso, senza ne capo né coda (come si dice da me), penseranno che mi faccio troppe pippe mentali ecc...Che perda tempo sono fatti miei (il mio tempo me lo gestisco come mi pare). Inoltre, sinceramente mi sono scocciato di leggere risposte del tipo: "ma basta lisdap con queste pippe mentali ecc...". Quindi, se qualcuno avesse intenzione di rispondere in questo modo, che non risponda proprio così evitiamo di andare in off topic e di farmi salire l'adrenalina nelle vene.
Premesso questo, mi chiedo:
Sappiamo che su $RR$ sono definite "un botto" di operazioni unarie (funzioni di una variabile) tra le quali ricordiamo sin,cos,tan,log,ln,cosh,sinh,tanh, funzione esponenziale, funzione potenza, sqrt, funzione identità, funzione costante ecc....e le operazioni binarie (funzioni di due variabili) +,-,*,/.
Ora, con tutte queste funzioni (immaginiamole come scatole che trasformano numeri in altri numeri) si possono fare "giochetti" molto interessanti. Ad esempio, posso prendere la scatola "sin" e studiarne limiti, derivabilità ecc...
Ma posso fare anche dell'altro. Ad esempio, posso prendere le tre scatole "sin, log, identità" e collegarle in modo da farle funzionare nel seguente ordine: prima faccio funzionare la scatola identità, poi la scatola seno e poi la scatola logaritmo.
Ciò che ottengo è un nuovo "macchinario" che mi trasforma numeri in altri numeri, cioè una nuova funzione, detta composta. Ma denotare tale funzione composta nel modo che ho fatto, e cioè dicendo: "si consideri la funzione composta data dal funzionamento nel seguente ordine delle tre scatole identità---->seno----->logaritmo è troppo lungo e complicato.
Allora si preferisce rappresentare tale funzione composta in un modo più efficiente, e cioè come $log(sin(x))$, dove $x$ è la funzione identità.
Quindi, per concludere, una scrittura del tipo $f(x)=(x^2+x)/2$ è un modo sintetico di dire: "si prendano le scatole (funzioni) identità (x), elevamento a potenza, costante (2), somma, divisione, e le si facciano funzionare nel seguente ordine: identità------>potenza------>somma------>costante----->divisione.
Domanda: è vera una cosa simile? E' falsa? Perchè?
Spero di essere stato chiaro nell'esposizione. Grazie a chiunque vorrà intervenire nella discussione
@speculor: quando hai chiuso questo mi hai detto: "vedi discussione chilometrica di alcuni mesi or sono". Ma io lì purtroppo non vedo risposte, dunque sono costretto ad aprire un nuovo argomento (o almeno ci provo)
Probabilmente molti che leggeranno questo topic penseranno che perdo tempo a fare domande stupide, senza senso, senza ne capo né coda (come si dice da me), penseranno che mi faccio troppe pippe mentali ecc...Che perda tempo sono fatti miei (il mio tempo me lo gestisco come mi pare). Inoltre, sinceramente mi sono scocciato di leggere risposte del tipo: "ma basta lisdap con queste pippe mentali ecc...". Quindi, se qualcuno avesse intenzione di rispondere in questo modo, che non risponda proprio così evitiamo di andare in off topic e di farmi salire l'adrenalina nelle vene.
Premesso questo, mi chiedo:
Sappiamo che su $RR$ sono definite "un botto" di operazioni unarie (funzioni di una variabile) tra le quali ricordiamo sin,cos,tan,log,ln,cosh,sinh,tanh, funzione esponenziale, funzione potenza, sqrt, funzione identità, funzione costante ecc....e le operazioni binarie (funzioni di due variabili) +,-,*,/.
Ora, con tutte queste funzioni (immaginiamole come scatole che trasformano numeri in altri numeri) si possono fare "giochetti" molto interessanti. Ad esempio, posso prendere la scatola "sin" e studiarne limiti, derivabilità ecc...
Ma posso fare anche dell'altro. Ad esempio, posso prendere le tre scatole "sin, log, identità" e collegarle in modo da farle funzionare nel seguente ordine: prima faccio funzionare la scatola identità, poi la scatola seno e poi la scatola logaritmo.
Ciò che ottengo è un nuovo "macchinario" che mi trasforma numeri in altri numeri, cioè una nuova funzione, detta composta. Ma denotare tale funzione composta nel modo che ho fatto, e cioè dicendo: "si consideri la funzione composta data dal funzionamento nel seguente ordine delle tre scatole identità---->seno----->logaritmo è troppo lungo e complicato.
Allora si preferisce rappresentare tale funzione composta in un modo più efficiente, e cioè come $log(sin(x))$, dove $x$ è la funzione identità.
Quindi, per concludere, una scrittura del tipo $f(x)=(x^2+x)/2$ è un modo sintetico di dire: "si prendano le scatole (funzioni) identità (x), elevamento a potenza, costante (2), somma, divisione, e le si facciano funzionare nel seguente ordine: identità------>potenza------>somma------>costante----->divisione.
Domanda: è vera una cosa simile? E' falsa? Perchè?
Spero di essere stato chiaro nell'esposizione. Grazie a chiunque vorrà intervenire nella discussione
Risposte
Ok, quindi suppongo che sia un sì.
Quanto al fatto che un discorso simile fosse ovvio, beh, sinceramente solo ora ne sono consapevole!
Tu dici che tutte queste domande me le sarei dovute porre molto tempo fa. Io ti rispondo che non tutti sono uguali. Se ripenso come ero qualche anno fa, mi vedo come un semplice "contenitore di concetti". Ora non più, sono io a decidere quando è il momento di mettere gli oggetti nel contenitore.
Come ho già detto molte volte, a me la matematica è stata insegnata in modo "meccanico", senza la minima giustificazione. E ora sto cercando di rattoppare e sistemare quello che ho nella testa.
Spero che la metafora sia chiara
Quanto al fatto che un discorso simile fosse ovvio, beh, sinceramente solo ora ne sono consapevole!
Tu dici che tutte queste domande me le sarei dovute porre molto tempo fa. Io ti rispondo che non tutti sono uguali. Se ripenso come ero qualche anno fa, mi vedo come un semplice "contenitore di concetti". Ora non più, sono io a decidere quando è il momento di mettere gli oggetti nel contenitore.
Come ho già detto molte volte, a me la matematica è stata insegnata in modo "meccanico", senza la minima giustificazione. E ora sto cercando di rattoppare e sistemare quello che ho nella testa.
Spero che la metafora sia chiara
Sei d'accordo sul fatto che il concetto di "serie di funzioni" è un caso particolare di un meccanismo simile?
Mi spiego. Nel topic abbiamo visto come le varie funzioni definite su $RR$ possono essere "collegate" in un certo modo.
Nella maggior parte dei casi, il nuovo macchinario che ottengo è una nuova funzione (su un certo dominio).
Ora un "collegamento" interessante che è possibile fare tra funzioni è quello detto in "serie" (da cui il nome "serie di funzioni", suppongo).
Supponiamo di avere $n$ funzioni definite su un intervallo $I sub RR$. Posso considerare la scrittura formale $sum_(n=1)^oo f_i$, detta serie delle funzioni $f_i$. Questa scrittura, come detto nel topic, è un modo sintetico (e molto più efficace della rappresentazione sottostante) di considerare le infinite funzioni $f_i$ collegate in questo modo (graficamente è evidente come le $f_i$ sono disposte a formare una serie, nel senso italiano del termine):
Questo nuovo macchinario che si ottiene non è detto che sia una funzione. Infatti può capitare che mandando un qualunque input $in I$ il numero in uscita dal macchinario diventi sempre più grande (tenda ad infinito); allora si dice che la serie di funzioni non converge nell'intervallo (e quindi $sum_(n=1)^oo f_i$ non è una funzione, visto che non restituisce reali). Nel caso in cui per ogni input appartenente ad $I$ si verifichi che il numero in uscita tende a un valore limite, allora si dice che la serie convergerà sull'intervallo (e quindi $sum_(n=1)^oo f_i$ è una nuova funzione) . Infine può capitare che, mandato un input (ovviamente sempre appartenente ad $I$), il numero in uscita non abbia limite: allora si dirà che la serie di funzioni è irregolare per quell'input. Sono sulla buona strada?
Grazie!
Mi spiego. Nel topic abbiamo visto come le varie funzioni definite su $RR$ possono essere "collegate" in un certo modo.
Nella maggior parte dei casi, il nuovo macchinario che ottengo è una nuova funzione (su un certo dominio).
Ora un "collegamento" interessante che è possibile fare tra funzioni è quello detto in "serie" (da cui il nome "serie di funzioni", suppongo).
Supponiamo di avere $n$ funzioni definite su un intervallo $I sub RR$. Posso considerare la scrittura formale $sum_(n=1)^oo f_i$, detta serie delle funzioni $f_i$. Questa scrittura, come detto nel topic, è un modo sintetico (e molto più efficace della rappresentazione sottostante) di considerare le infinite funzioni $f_i$ collegate in questo modo (graficamente è evidente come le $f_i$ sono disposte a formare una serie, nel senso italiano del termine):
Questo nuovo macchinario che si ottiene non è detto che sia una funzione. Infatti può capitare che mandando un qualunque input $in I$ il numero in uscita dal macchinario diventi sempre più grande (tenda ad infinito); allora si dice che la serie di funzioni non converge nell'intervallo (e quindi $sum_(n=1)^oo f_i$ non è una funzione, visto che non restituisce reali). Nel caso in cui per ogni input appartenente ad $I$ si verifichi che il numero in uscita tende a un valore limite, allora si dice che la serie convergerà sull'intervallo (e quindi $sum_(n=1)^oo f_i$ è una nuova funzione) . Infine può capitare che, mandato un input (ovviamente sempre appartenente ad $I$), il numero in uscita non abbia limite: allora si dirà che la serie di funzioni è irregolare per quell'input. Sono sulla buona strada?
Grazie!
"lisdap":
...
UP!
beh...la tua mania di ridurre tutto a scatole può darti perfino una limitazione, invece dell'amplificazione, della comprensione di un concetto. Per esempio, cosa ti dice che tu le funzioni non le sommi esattamente nell'ordine che hai disegnato, ma in un diverso ordine? c'è un teorema che è una specie di generalizzazione della proprietà associativa e che riguarda le somme infinite e che tidice che qualsiasi ordine tu scegli nel sommare infiniti pezzi ottieni sempre la stessa cosa (riordinamento di serie)...sono tutti risultati assolutamente NON ovvi a cui si può pervenire SOLO tramite adeguato e astratto simbolismo...per questo ti consiglio, elevati dal pragmatico, e sforzati di entrare nell'affascinante universo dell'astrazione...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo