Rappresentazione delle funzioni composte
Mi sono stati chiusi tutti i topic sulle funzioni (a parte questo ), ma se postassi lì andrei palesemente in OFF TOPIC; dunque, per non violare il regolamento, sono costretto ad aprire questo thread.
@speculor: quando hai chiuso questo mi hai detto: "vedi discussione chilometrica di alcuni mesi or sono". Ma io lì purtroppo non vedo risposte, dunque sono costretto ad aprire un nuovo argomento (o almeno ci provo)
Probabilmente molti che leggeranno questo topic penseranno che perdo tempo a fare domande stupide, senza senso, senza ne capo né coda (come si dice da me), penseranno che mi faccio troppe pippe mentali ecc...Che perda tempo sono fatti miei (il mio tempo me lo gestisco come mi pare). Inoltre, sinceramente mi sono scocciato di leggere risposte del tipo: "ma basta lisdap con queste pippe mentali ecc...". Quindi, se qualcuno avesse intenzione di rispondere in questo modo, che non risponda proprio così evitiamo di andare in off topic e di farmi salire l'adrenalina nelle vene.
Premesso questo, mi chiedo:
Sappiamo che su $RR$ sono definite "un botto" di operazioni unarie (funzioni di una variabile) tra le quali ricordiamo sin,cos,tan,log,ln,cosh,sinh,tanh, funzione esponenziale, funzione potenza, sqrt, funzione identità, funzione costante ecc....e le operazioni binarie (funzioni di due variabili) +,-,*,/.
Ora, con tutte queste funzioni (immaginiamole come scatole che trasformano numeri in altri numeri) si possono fare "giochetti" molto interessanti. Ad esempio, posso prendere la scatola "sin" e studiarne limiti, derivabilità ecc...
Ma posso fare anche dell'altro. Ad esempio, posso prendere le tre scatole "sin, log, identità" e collegarle in modo da farle funzionare nel seguente ordine: prima faccio funzionare la scatola identità, poi la scatola seno e poi la scatola logaritmo.
Ciò che ottengo è un nuovo "macchinario" che mi trasforma numeri in altri numeri, cioè una nuova funzione, detta composta. Ma denotare tale funzione composta nel modo che ho fatto, e cioè dicendo: "si consideri la funzione composta data dal funzionamento nel seguente ordine delle tre scatole identità---->seno----->logaritmo è troppo lungo e complicato.
Allora si preferisce rappresentare tale funzione composta in un modo più efficiente, e cioè come $log(sin(x))$, dove $x$ è la funzione identità.
Quindi, per concludere, una scrittura del tipo $f(x)=(x^2+x)/2$ è un modo sintetico di dire: "si prendano le scatole (funzioni) identità (x), elevamento a potenza, costante (2), somma, divisione, e le si facciano funzionare nel seguente ordine: identità------>potenza------>somma------>costante----->divisione.
Domanda: è vera una cosa simile? E' falsa? Perchè?
Spero di essere stato chiaro nell'esposizione. Grazie a chiunque vorrà intervenire nella discussione
@speculor: quando hai chiuso questo mi hai detto: "vedi discussione chilometrica di alcuni mesi or sono". Ma io lì purtroppo non vedo risposte, dunque sono costretto ad aprire un nuovo argomento (o almeno ci provo)
Probabilmente molti che leggeranno questo topic penseranno che perdo tempo a fare domande stupide, senza senso, senza ne capo né coda (come si dice da me), penseranno che mi faccio troppe pippe mentali ecc...Che perda tempo sono fatti miei (il mio tempo me lo gestisco come mi pare). Inoltre, sinceramente mi sono scocciato di leggere risposte del tipo: "ma basta lisdap con queste pippe mentali ecc...". Quindi, se qualcuno avesse intenzione di rispondere in questo modo, che non risponda proprio così evitiamo di andare in off topic e di farmi salire l'adrenalina nelle vene.
Premesso questo, mi chiedo:
Sappiamo che su $RR$ sono definite "un botto" di operazioni unarie (funzioni di una variabile) tra le quali ricordiamo sin,cos,tan,log,ln,cosh,sinh,tanh, funzione esponenziale, funzione potenza, sqrt, funzione identità, funzione costante ecc....e le operazioni binarie (funzioni di due variabili) +,-,*,/.
Ora, con tutte queste funzioni (immaginiamole come scatole che trasformano numeri in altri numeri) si possono fare "giochetti" molto interessanti. Ad esempio, posso prendere la scatola "sin" e studiarne limiti, derivabilità ecc...
Ma posso fare anche dell'altro. Ad esempio, posso prendere le tre scatole "sin, log, identità" e collegarle in modo da farle funzionare nel seguente ordine: prima faccio funzionare la scatola identità, poi la scatola seno e poi la scatola logaritmo.
Ciò che ottengo è un nuovo "macchinario" che mi trasforma numeri in altri numeri, cioè una nuova funzione, detta composta. Ma denotare tale funzione composta nel modo che ho fatto, e cioè dicendo: "si consideri la funzione composta data dal funzionamento nel seguente ordine delle tre scatole identità---->seno----->logaritmo è troppo lungo e complicato.
Allora si preferisce rappresentare tale funzione composta in un modo più efficiente, e cioè come $log(sin(x))$, dove $x$ è la funzione identità.
Quindi, per concludere, una scrittura del tipo $f(x)=(x^2+x)/2$ è un modo sintetico di dire: "si prendano le scatole (funzioni) identità (x), elevamento a potenza, costante (2), somma, divisione, e le si facciano funzionare nel seguente ordine: identità------>potenza------>somma------>costante----->divisione.
Domanda: è vera una cosa simile? E' falsa? Perchè?
Spero di essere stato chiaro nell'esposizione. Grazie a chiunque vorrà intervenire nella discussione
Risposte
Non vedo domande... Qual è lo scopo del thread? Propagandare la tua visione delle scatole?
Ne vedo un ragionamento molto simile a quello che si fa alle superiori (e poi in analisi I) quando si parla di continuità.
Le funzioni elementari (le tue "scatole" in pratica) sono continue e lo si dimostra.
Poi si dice (teorema) che "la composizione di funzioni continue resta una funzione continua" (tranne per la divisione nel caso in cui si annulla il termine al denominatore).
Sotto il tuo punto di vista (ed è anche vero, tra l'altro!), la maggior parte delle funzioni sono composte: per esempio $2x$ si ottiene moltiplicando la funzione identità per quella che ad ogni reale associa il $2$.
In logica matematica ho visto "ampiamente" queste "pippe mentali" (
) di cui parli: ti consiglio di dare un'occhiata a libri di logica o di complessità computazionale soprattutto ad argomenti come "funzioni ricorsive" se sei interessato.
Le funzioni elementari (le tue "scatole" in pratica) sono continue e lo si dimostra.
Poi si dice (teorema) che "la composizione di funzioni continue resta una funzione continua" (tranne per la divisione nel caso in cui si annulla il termine al denominatore).
Sotto il tuo punto di vista (ed è anche vero, tra l'altro!), la maggior parte delle funzioni sono composte: per esempio $2x$ si ottiene moltiplicando la funzione identità per quella che ad ogni reale associa il $2$.
In logica matematica ho visto "ampiamente" queste "pippe mentali" (
) di cui parli: ti consiglio di dare un'occhiata a libri di logica o di complessità computazionale soprattutto ad argomenti come "funzioni ricorsive" se sei interessato.
Meno male, qualcuno che ha capito la mia domanda (cioè Zero87) 
Consideriamo ad esempio la scrittura $x^3/3$. Secondo me questa scrittura è un modo sintetico per dire: "si applichino la funzione identità, elevamento al cubo. costante e divisione secondo il seguente schema":
@Seneca: volevo semplicemente avere conferma di questo e, nel caso non fosse vero, avere delle giustificazioni da parte vostra chiare e precise.
Ciò che affermo è: le funzioni si indicano con i simboli sin,cos,tan,log,+,-,*,/, id (identità) (tant'è che sulla calcolatrice ci sono questi simboli). Espressioni del tipo $(x^2+sin(x))/2$ ad esempio sono solo dei modi sintetici per indicare l'applicazione delle funzioni di cui sopra secondo uno schema preciso.
Possibili risposte:
Vero? Falso? (Se falso, perchè?)
Consideriamo ad esempio la scrittura $x^3/3$. Secondo me questa scrittura è un modo sintetico per dire: "si applichino la funzione identità, elevamento al cubo. costante e divisione secondo il seguente schema":
@Seneca: volevo semplicemente avere conferma di questo e, nel caso non fosse vero, avere delle giustificazioni da parte vostra chiare e precise.
Ciò che affermo è: le funzioni si indicano con i simboli sin,cos,tan,log,+,-,*,/, id (identità) (tant'è che sulla calcolatrice ci sono questi simboli). Espressioni del tipo $(x^2+sin(x))/2$ ad esempio sono solo dei modi sintetici per indicare l'applicazione delle funzioni di cui sopra secondo uno schema preciso.
Possibili risposte:
Vero? Falso? (Se falso, perchè?)
La risposta che do io è "vero" e continuo a ricordare che nel corso di Logica Matematica ho visto a lungo questi fatti sulle funzioni, come ho detto nel precedente post.
Non che mi ricordo chissà cosa, però mi conforta Wikipedia nella memoria, cioè a partire da 3 funzioni base si costruiscono tutte le altre.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_r ... _primitiva
Non che mi ricordo chissà cosa, però mi conforta Wikipedia nella memoria, cioè a partire da 3 funzioni base si costruiscono tutte le altre.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_r ... _primitiva
"Zero87":
La risposta che do io è "vero" e continuo a ricordare che nel corso di Logica Matematica ho visto a lungo questi fatti sulle funzioni, come ho detto nel precedente post.
Non che mi ricordo chissà cosa, però mi conforta Wikipedia nella memoria, cioè a partire da 3 funzioni base si costruiscono tutte le altre.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_r ... _primitiva
Grazie per la conferma, Zero87
Buona giornata!
"Zero87":
La risposta che do io è "vero" e continuo a ricordare che nel corso di Logica Matematica ho visto a lungo questi fatti sulle funzioni, come ho detto nel precedente post.
Non che mi ricordo chissà cosa, però mi conforta Wikipedia nella memoria, cioè a partire da 3 funzioni base si costruiscono tutte le altre.
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_r ... _primitiva
questo tipo di "composizione di funzione" è su un piano diverso da quello che intende lisdap che è più ""analitico"" a mio vedere.
Ma se si vuole proprio tirarle in ballo qui, c'è un esempio pratico e a vista, di cosa si intende per "ricorsione" e "composizione" per chi è poco avezzo di calcolabilità (o meglio semantica di un linguaggio REC).
Prendiamo la funzione esponenziale $exp$. Su wikipedia leggo quest'uguaglianza: $e^x=sum_(n=0)^(oo) x^n/(n!)$. Per me questa uguaglianza è un modo sintetico di dire: "facendo funzionare secondo un certo schema certe funzioni costanti (infinite in questo caso), identità, somma, divisione, ecc...si ottiene un macchinario che lavora esattamente come $exp$".
Qualcuno è d'accordo?
Stessa identica cosa per la serie di Fourier.
Qualcuno è d'accordo?
Stessa identica cosa per la serie di Fourier.
Scrivere $(sqrt(x^3)+log(sin x))/(2+cos(x^2))$ significa costruire il seguente schema e far funzionare le varie scatole (funzioni) nell'ordine indicato:
Vi trovate?
Grazie!
Vi trovate?
Grazie!
Lo schema corretto dovrebbe essere questo:
Lisdap, permettimi una domanda: secondo te, quanto questo disegno ha migliorato la tua capacità di comprensione della Matematica?
"gugo82":
Lisdap, permettimi una domanda: secondo te, quanto questo disegno ha migliorato la tua capacità di comprensione della Matematica?
Tantissimo, non sto scherzando. Mi sento davvero molto migliorato. Secondo te quello schema è una cosa senza senso? Se si mi devi giustificare il perchè.
E poi mi sembra tutto molto naturale. Prendi tutte le funzioni definite su $RR$. E' una cosa naturalissima il pensare di collegare tutte queste "scatole" in un certo modo (composizione di funzioni) e vedere come si comporta questo nuovo aggeggio (valutare se continua ad essere una funzione ecc...), non trovi? Siccome però disegnare lo schema come ho fatto io di tutte queste scatole è una cosa troppo complicata, allora si preferisce denotare questa composizione con le notazioni che ho scritto. Non voglio fare il saputello (sono molto modesto nella vita quotidiana) ma stavolta il discorso mi sembra filare davvero bene. Non trovi?
"lisdap":
Lo schema corretto dovrebbe essere questo:
quello che stai cercando di descrivere con l'immagine sopra è un'analisi semantica sulle funzioni matematiche!!
Albero sintattico (o più correttamente te gli aggiungi anche un significato semantico alle funzioni perciò è un albero sintattico decorato).
Tutto questa rappresentazione e scomposizioni è utile nei ragionamenti e teorie di altri campi, ma in sè, se no per un tuo schema mentale che utilizzi solo nei tuoi studi, non ha nessuna applicabilità in analisi (da quanto ne so, se non qualcosa nei primi studi di funzione ad una variabile...).
E' si naturale è un ragionamento così, ma esplode in ramificazioni complesse che si possono semplicemente eliminare con una notazione matematica che tutti adottano.
"hamming_burst":
E' si naturale è un ragionamento così, ma esplode in ramificazioni complesse che si possono semplicemente eliminare con una notazione matematica che tutti adottano.
Certo, infatti ho detto che questo modo che ho presentato è troppo complesso da utilizzare (già per la funzione che ho scritto ho dovuto usare tredici scatole
)!Non sto dicendo che la notazione di oggi è errata e va sostituita con quella da me proposta. Sto solo chiedendo se la notazione di oggi è stata elaborata a partire dagli schemi che ho mostrato, cioè se dietro la notazione corrente (usata per motivi di chiarezza e sinteticità) ci sono idee di questo tipo con le "scatole". Secondo me sì, e a conferma di questo c'è anche il termine "serie" comunemente usato in analisi.
La parola "serie di funzioni", infatti, secondo me richiama proprio opportuni collegamenti tra scatole nere (metafora usata dal bramanti per indicare una funzione).
Grazie hamming
"lisdap":
Secondo te quello schema è una cosa senza senso? Se si mi devi giustificare il perchè.
Senza senso no.
Inutile, banale, più che altro; anche abusata, giacché sono anni che ai ragazzini si spiega l'analogia "funzione - scatoletta" (che, tra l'altro, mi sembra didatticamente controproducente, dato che non invoglia a capire come funzioni davvero la "scatoletta"... Un po' come accade con le calcolatrici, i computer e tutti gli aggeggi elettronici moderni).
"lisdap":
E poi mi sembra tutto molto naturale. Prendi tutte le funzioni definite su $RR$. E' una cosa naturalissima il pensare di collegare tutte queste "scatole" in un certo modo (composizione di funzioni) e vedere come si comporta questo nuovo aggeggio (valutare se continua ad essere una funzione ecc...), non trovi? Siccome però disegnare lo schema come ho fatto io di tutte queste scatole è una cosa troppo complicata, allora si preferisce denotare questa composizione con le notazioni che ho scritto. Non voglio fare il saputello (sono molto modesto nella vita quotidiana) ma stavolta il discorso mi sembra filare davvero bene. Non trovi?
Ovviamente, la notazione serve per semplificare la vita, anche se a volte (e questo della funzione composta non è affatto il caso), nasconde un po' i concetti.
Tuttavia, tutte queste belle considerazioni si dovrebbero fare due secondi dopo aver letto la definizione di funzione composta ...
Almeno, per me è sempre così: dopo aver letto una definizione mi viene subito in mente di capirne la logica; di norma non aspetto di aver passato un esame per interrogarmi su quello che leggo.
Quando ti ho chiesto "quanto il disegno ha migliorato la tua capacità di comprensione della Matematica?" mi riferivo a questo.
Chiediti perchè non ci hai pensato prima.
Chiediti se è proprio indispensabile portare avanti una discussione su una banalità del genere.
Che me lo sia chiesto quasi due anni dopo aver dato Analisi 1 non importa, meglio tardi che mai come si dice.
Quindi dalla tua risposta posso dedurre che quello che sto dicendo in questo post, seppur banale, è corretto?
Quindi dalla tua risposta posso dedurre che quello che sto dicendo in questo post, seppur banale, è corretto?
personalmente mi sembra ovvio
ma a giudicare dal fatto che sono un povero bocciato in analisi, sto sulle mie
ma a giudicare dal fatto che sono un povero bocciato in analisi, sto sulle mie
"newton_1372":
personalmente mi sembra ovvio
Mi associo.
@hamming_burst: Voli troppo alto; il livello del discorso non è così elevato.
"newton_1372":
personalmente mi sembra ovvio
Cosa ti sembra ovvio?
Quanto all'esame di Analisi 1, mi stupisce che tu non l'abbia superato (l'ho superato io, e non capisco come abbia fatto, quasi 2 anni fa senza sapere minimamente cosa avessi studiato). Evidentemente il cervello è una macchina davvero complicata!
A gugo: mi puoi rispondere con un si/no alla domanda:
è corretto quello che ho detto in questo post?
Grazie.
Quanto alla domanda che mi avevi posto, "chiediti perché non ci hai pensato prima", la risposta è:
ero troppo poco maturo!
"lisdap":
A gugo: mi puoi rispondere con un si/no alla domanda:
è corretto quello che ho detto in questo post?
Ho già risposto: citando newton_1372, "mi sembra ovvio" quello che dici.
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