Rapporto tra stime asintotiche e sviluppi di Taylor

[Ingy]

Ciao a tutti, avrei una domanda: da quel che ho capito, le stime asintotiche sono in realtà sviluppi di Taylor troncati al primo o secondo ordine.
Ma qualcosa non mi torna!

Se mi trovo:
$ ln(1+x+x^2) $

Con la stima asintotica mi verrebbe $ ln(1+x+x^2)=x+x^2 $ con $ f(x)->0 $

Se faccio invece lo sviluppo di Taylor troncato al secondo ordine, mi trovo: $ ln(1+x+x^2)=x+x^2/2+o(x^2) $

Ora, se devo risolvere un limite in cui mi trovo questa cosa al denominatore, quale delle due approssimazioni devo usare? e perché vengono diverse?

[gordnbrn]

"Ingy":
Con la stima asintotica mi verrebbe $ ln(1+x+x^2)=x+x^2 $ con $ f(x)->0$

Qui devi continuare, ti stai perdendo un contributo di ordine $x^2$.

"Ingy":
...da quel che ho capito, le stime asintotiche sono in realtà sviluppi di Taylor troncati al primo o secondo ordine...

Sei tu che decidi quando fermarti, non esiste una regola fissa.

[Ingy]

Ma con la stima asintotica so che

$ ln(1+f(x))~ f(x) $

quindi nel mio caso

$ ln(1+x+x^2)~ x+x^2 $

o no? Come faccio ad andare avanti?

[gordnbrn]

$ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)$

$ln(1+x+x^2)=x+x^2-1/2(x+x^2)^2+o(x^2)=x+x^2-1/2x^2+o(x^2)=x+1/2x^2+o(x^2)$