Rapporto e differenza di funzioni asintotiche

[collimarco]

Ciao a tutti!

Proprio non riesco a capire o visualizzare mentalmente come sia possibile che due funzioni asintotiche, che per definizione hanno come limite del loro rapporto 1, abbiano come limite della loro differenza un valore diverso da zero.

Considerate questo esempio.
\(\displaystyle √(n+n^2) \sim √(n^2) = n \)

E infatti il limite del loro rapporto vale 1. Quindi uno ingenuamente si aspetta che i due valori siano uguali, e quindi che la loro differenza sia zero.

E invece (razionalizzando) si ottiene che la differenza tende a 1/2:
\(\displaystyle √(n+n^2) - n \sim 1/2 \)

[Pierlu11]

Se $ f(x)~ g(x) $ vuol dire che $ f(x)=g(x)+o(g(x)) $ cioè $ g(x)+ $ qualcosa di trascurabile rispetto a $ g(x) $ per $ x->infty $ . Quel qualcosa di trascurabile, se $ g(x) $ è infinita può essere anche una costante (come in questo caso).
Infatti, se consideri una qualunque $ f(x) $ infinita per $ x->infty $ e consideri $ f(x)+c $ , ottieni che $ f(x)/(f(x)+c)->1 $ ma $ f(x)-(f(x)+c)=c!= 0 $
(tutto ciò accade perché le funzioni vanno all'infinito, se prendi qualunque funzione non infinita e la sua asintotica, avrai che la differenza è effettivamente nulla... le costati all'infinito sono o-piccoli tracurabili)

[collimarco]

tutto ciò accade perché le funzioni vanno all'infinito, se prendi qualunque funzione non infinita e la sua asintotica, avrai che la differenza è effettivamente nulla

Grazie mille, mi hai illuminato!