Rango matrici con parametri
L'esercizio richiedeva di calcolare il rango di questa matrice.
1 k 2k 1
1 2 -1 2
k -4 2 -4
Utilizzando il metodo degli orlati ho calcolato senza troppe difficoltà che il rango è 3
Ho quindi cercato di applicare il metodo della riduzione a scalini, riscontrando maggiori difficoltà sia nella riduzione sia alla fine perché la matrice presentava equazioni di primo e secondo grado.
La domanda è:
nelle matrici con parametro/i, dove viene richiesto di determinare il rango è possibile stabilire a priori se è meglio procedere con il metodo di kronacher oppure con quello della riduzione a scalini di Gauss ?
1 k 2k 1
1 2 -1 2
k -4 2 -4
Utilizzando il metodo degli orlati ho calcolato senza troppe difficoltà che il rango è 3
Ho quindi cercato di applicare il metodo della riduzione a scalini, riscontrando maggiori difficoltà sia nella riduzione sia alla fine perché la matrice presentava equazioni di primo e secondo grado.
La domanda è:
nelle matrici con parametro/i, dove viene richiesto di determinare il rango è possibile stabilire a priori se è meglio procedere con il metodo di kronacher oppure con quello della riduzione a scalini di Gauss ?
Risposte
Ciao,
nel caso delle matrici con parametri è conveniente utilizzare il metodo di kronecker. Nel caso di una matrice non quadrata procedi calcolando il determinante di tutte le sottomatrici rxr e valuti per quali valori di k questi determinanti si annullano. Se esiste una sottomatrice rxr che ha determinante non nullo indipendente dal valore di k allora la matrice ha rango r, mentre se esiste un valore di k tale per cui i determinanti di tutte le sottomatrici rxr si annullano allora il rango è minore di r e devi ripetere il procedimento con le sottomatrici (r-1)x(r-1).
Comunque anche con questo metodo, nel valutare i valori di k per cui i determinanti delle sottomatrici si annullano, si deve risolvere equazioni di primo e secondo grado in funzione di k.
nel caso delle matrici con parametri è conveniente utilizzare il metodo di kronecker. Nel caso di una matrice non quadrata procedi calcolando il determinante di tutte le sottomatrici rxr e valuti per quali valori di k questi determinanti si annullano. Se esiste una sottomatrice rxr che ha determinante non nullo indipendente dal valore di k allora la matrice ha rango r, mentre se esiste un valore di k tale per cui i determinanti di tutte le sottomatrici rxr si annullano allora il rango è minore di r e devi ripetere il procedimento con le sottomatrici (r-1)x(r-1).
Comunque anche con questo metodo, nel valutare i valori di k per cui i determinanti delle sottomatrici si annullano, si deve risolvere equazioni di primo e secondo grado in funzione di k.
Ciao Alex, grazie per la risposta.
Cerco di fare sintesi di quello che ho capito dallo studio, dagli esercizi e dalle tue info chiedendoti la cortesia di confermare con un si se corrette oppure con un no specificando l'errore.
1) Matrici quadrate con parametro:
l'incognita/e si possono calcolare risolvendo l'equazione che scaturisce dal determinante, sostituendo poi nella matrice i parametri con i valori calcolati e quindi calcolando il rango per ogni valore tramite riduzione. Ovviamente si può anche applicare kronaker oppure determinare il valore dell'incognita/e riducendo a scala e poi risolvendo l'equazione che si genera per ottenere i valori dell'incognita/e
quindi sostituire nella matrice e calcolare il rango con i rispettivi valori tramite riduzione di Gauss.
2) nel caso di matrici rettangolari non è possibile il calcolo del determinante quindi si può applicare kronaker con il metodo da te illustrato oppure determinare il valore dell'incognita/e riducendo a scala e poi risolvendo l'equazione che si genera per ottenere i valori dell'incognita/e
quindi sostituire nella matrice i parametri con i valori ottenuti per poi pervenire al rango che scaturisce in base ai rispettivi valori. quando si opera la riduzione di Gauss.
Cerco di fare sintesi di quello che ho capito dallo studio, dagli esercizi e dalle tue info chiedendoti la cortesia di confermare con un si se corrette oppure con un no specificando l'errore.
1) Matrici quadrate con parametro:
l'incognita/e si possono calcolare risolvendo l'equazione che scaturisce dal determinante, sostituendo poi nella matrice i parametri con i valori calcolati e quindi calcolando il rango per ogni valore tramite riduzione. Ovviamente si può anche applicare kronaker oppure determinare il valore dell'incognita/e riducendo a scala e poi risolvendo l'equazione che si genera per ottenere i valori dell'incognita/e
quindi sostituire nella matrice e calcolare il rango con i rispettivi valori tramite riduzione di Gauss.
2) nel caso di matrici rettangolari non è possibile il calcolo del determinante quindi si può applicare kronaker con il metodo da te illustrato oppure determinare il valore dell'incognita/e riducendo a scala e poi risolvendo l'equazione che si genera per ottenere i valori dell'incognita/e
quindi sostituire nella matrice i parametri con i valori ottenuti per poi pervenire al rango che scaturisce in base ai rispettivi valori. quando si opera la riduzione di Gauss.
Esatto, in generale in presenza di parametri è più semplice calcolare i determinanti e quindi i valori di k per poi sostituirli all'interno della matrice.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo