Rango matrice associata ad un'equaz. differenziale
salve a tutti, ho postato questa stessa domanda nella sezione "analisi" del forum, ma purtroppo non ho avuto risposta.
visto che la domanda in esame contiene lo stesso contenuto di algebra e di analisi, (ma forse, ripensandoci meglio, anche un pò più di algebra..!) ho pensato di ripostarla in questa sezione.
è probabile che la soluzione sia molto facile, ma se così fosse al momento non riesco proprio a trovarla!
Ecco la domanda:
considero un problema ai limiti per un'equazione differenziale lineare del secondo ordine: ${(y''+a_1(x)y'+a_2(x)y=f(x)),(y(a)=\alpha),(y(b)=\beta):}$
ipotizzando di aver trovato i due integrali indipendenti dell'omogenea associata e l'integrale particolare, la famiglia di soluzioni è $y=c_1y_1+c_2y_2+z$
la risoluzione del mio problema ai limiti quindi si riduce a risolvere il sistema $\{(c_1y_1(a)+c_2y_2(a)=\alpha-z(a)),(c_1y_1(b)+c_2y_2(b)=\beta -z(a)):}$
Ora posso studiare le soluzioni del mio sistema tramite la matrice dei coefficienti $((y_1(a),y_2(a)),(y_1(b),y_2(b)))$e la matrice dei coefficienti e dei termini noti.
Problema: perchè la matrice dei coefficienti non può mai avere rango 0??
Ho provato nel caso delle eq. diff. lineari a coefficienti costanti ed ho verificato che effettivamente è impossibile che tutti gli elementi della matrice siano nulli, ma nel caso generale che si fa?
Vi ringrazio anticipatamente, e vi prego di scusarmi se la sezione non fosse effettivamente quella adatta alla domanda.
visto che la domanda in esame contiene lo stesso contenuto di algebra e di analisi, (ma forse, ripensandoci meglio, anche un pò più di algebra..!) ho pensato di ripostarla in questa sezione.
è probabile che la soluzione sia molto facile, ma se così fosse al momento non riesco proprio a trovarla!
Ecco la domanda:
considero un problema ai limiti per un'equazione differenziale lineare del secondo ordine: ${(y''+a_1(x)y'+a_2(x)y=f(x)),(y(a)=\alpha),(y(b)=\beta):}$
ipotizzando di aver trovato i due integrali indipendenti dell'omogenea associata e l'integrale particolare, la famiglia di soluzioni è $y=c_1y_1+c_2y_2+z$
la risoluzione del mio problema ai limiti quindi si riduce a risolvere il sistema $\{(c_1y_1(a)+c_2y_2(a)=\alpha-z(a)),(c_1y_1(b)+c_2y_2(b)=\beta -z(a)):}$
Ora posso studiare le soluzioni del mio sistema tramite la matrice dei coefficienti $((y_1(a),y_2(a)),(y_1(b),y_2(b)))$e la matrice dei coefficienti e dei termini noti.
Problema: perchè la matrice dei coefficienti non può mai avere rango 0??
Ho provato nel caso delle eq. diff. lineari a coefficienti costanti ed ho verificato che effettivamente è impossibile che tutti gli elementi della matrice siano nulli, ma nel caso generale che si fa?
Vi ringrazio anticipatamente, e vi prego di scusarmi se la sezione non fosse effettivamente quella adatta alla domanda.
Risposte
Se, in un sistema di ODE, lineare ed omogeneo, 2x2 (per far le cose più semplici possibili), prendi una matrice costituita da due soluzioni linearmente indipendenti, il fatto che la matrice che ottieni, calcolando le funzioni in un dato punto, sia non singolare è vero.
E' un fatto caratteristico delle equazioni differenziali, e discende dal teorema di esistenza ed unicità.
NON vale se tu prendi due funzioni qualsiasi. Esempio scemo:
$y_{11}(x) = 0$ per $x \le 0$, $x^2$ per $x \ge 0$
$y_{12}(x) = 0$
$y_{21}(x) = x^2$ per $x \le 0$, $0$ per $x \ge 0$
$y_{22}(x) = \sin x$
Ovvio che, mentre le due funzioni (a valori in $RR^2$) sono l.i., questo non vale se le calcoli in un punto negativo.
[mod="Fioravante Patrone"]PS: ho rispostato il post in Analisi (perché è, data la risposta, la sezione appropriata) e ho cancellato l'altro post.[/mod]
E' un fatto caratteristico delle equazioni differenziali, e discende dal teorema di esistenza ed unicità.
NON vale se tu prendi due funzioni qualsiasi. Esempio scemo:
$y_{11}(x) = 0$ per $x \le 0$, $x^2$ per $x \ge 0$
$y_{12}(x) = 0$
$y_{21}(x) = x^2$ per $x \le 0$, $0$ per $x \ge 0$
$y_{22}(x) = \sin x$
Ovvio che, mentre le due funzioni (a valori in $RR^2$) sono l.i., questo non vale se le calcoli in un punto negativo.
[mod="Fioravante Patrone"]PS: ho rispostato il post in Analisi (perché è, data la risposta, la sezione appropriata) e ho cancellato l'altro post.[/mod]