Rango di un operatore chiuso

[Alaska2]

Ciao a tutti. Non mi è molto chiaro un passo di una dimostrazione in cui si vuole far vedere che il rango di un operatore è chiuso in uno spazio di Hilbert.

Sia $A:\quad H\rightarrow H$ un operatore lineare e limitato, dove $H$ è uno spazio di Hilbert con norma \(\|\quad \|\), e sia $R(A)$ il rango di $A$. Per dimostrare che il rango è chiuso in $H$ fa vedere che \(C\|u\|\leq\|Au\|\), dove $u\in H$ e $C$ è una costante positiva.

Perchè \(C\|u\|\leq\|Au\|\) implica che $R(A)$ è chiuso in $H$?

[gugo82]

Un teorema molto generale caratterizza gli operatori a rango chiuso:

Siano \((X,\|\cdot \|_X),\ (Y,\|\cdot \|_Y)\) spazi di Banach ed \(A:X\to Y\) un operatore lineare continuo.
Il rango di \(A\) è chiuso in \(Y\) se e solo se:
\[
\exists C\geq 0:\ \forall x\in X,\quad \operatorname{dist}_X( x, \mathcal{N}(A))\leq C\ \| Ax\|_Y\; ,
\]
ove \(\mathcal{N}(A):=\{ x\in X: Ax=o_Y\}\subseteq X\) è il nucleo di \(A\) e \(\operatorname{dist}_X(\cdot, \cdot)\) è la distanza punto-insieme in \(X\), definita ponendo:
\[
\operatorname{dist}_X (x,S) := \inf_{\xi \in S}\ \| x-\xi\|_X\; .
\]

Se n'era parlato mille anni fa qui.
La forma in cui hai enunciato tu la cosa, mi sembra valga solo se \(\mathcal{N}(A)=\{ o_X\}\), cioè solo se \(A\) è iniettivo.

[Alaska2]

Ti ringrazio. Comunque \(C\|u\|\leq\|Au\|\) implica anche che \(Au=0\Leftrightarrow u=0\), dunque \(\mathcal{N}(A)=\{0_X\}\).
Quindi mi sembra che la mia disuguaglianza sia esattamente un caso particolare del teorema che hai riportato. Giusto?