Ragionamento Integrale triplo in questo caso come si fa?
salve a tutti, allora io ho questo problema
Calcolare il volume delle seguenti regioni:
$D={(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2+z^2<=1 ; y<= xz}$
allora il primo è una sfera di centro l'origine e raggio $1$ l'altro non lo so.. potrebbe benissimo essere una retta se restringo il dominio a un piano...
però io non riesco a impostarlo! cioè ho provato a esplicitare la $z$ dalla prima e mi viene $z<= sqrt( 1-(x^2+y^2))$ e come sottodominio $x^2+y^2<=1$ cioè circonferenza unitaria centrata nell'origine...
ma poi la quota di $z$ tra cosa la faccio variare???? in ogni caso penso che sto sbagliando tutto il ragionamento...
spiegatemi please...
Grazie in anticipo a tutti....
Calcolare il volume delle seguenti regioni:
$D={(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2+z^2<=1 ; y<= xz}$
allora il primo è una sfera di centro l'origine e raggio $1$ l'altro non lo so.. potrebbe benissimo essere una retta se restringo il dominio a un piano...
però io non riesco a impostarlo! cioè ho provato a esplicitare la $z$ dalla prima e mi viene $z<= sqrt( 1-(x^2+y^2))$ e come sottodominio $x^2+y^2<=1$ cioè circonferenza unitaria centrata nell'origine...
ma poi la quota di $z$ tra cosa la faccio variare???? in ogni caso penso che sto sbagliando tutto il ragionamento...
spiegatemi please...
Grazie in anticipo a tutti....
Risposte
Fissando la y, l'insieme d'integrazione nel piano xz risulta:
$\{(x^2 + z^2 <= 1 - y^2),(xz >= y):}$
Le due equazioni sono quelle di una circonferenza e di un'iperbole equilatera.
Ora ti puoi aiutare con il grafico, considerando y come un parametro.
$\{(x^2 + z^2 <= 1 - y^2),(xz >= y):}$
Le due equazioni sono quelle di una circonferenza e di un'iperbole equilatera.
Ora ti puoi aiutare con il grafico, considerando y come un parametro.
ah bè.. $x^2+z^2<=1-y^2$ è una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $sqrt(1-y^2)$ l'altra invece rispetto cosa la esplicito? $x= y/z$ ?? e dopo che faccio le metto a sistema? è un operbole equilatera quindi non ha intersezioni con gli assi...
L'iperbole equilatera del tipo $xz = k$ non è difficile da disegnare. Devi determinare i punti d'intersezione tra l'iperbole e la circonferenza. Stai attento alla limitazione $-1 <= y <= 1$ e a fare il grafico nei due casi $y < 0$ e $y > 0$.
ok adesso ci provo ma non credo di aver capito bene
Sarebbe opportuno utilizzare alcune considerazioni di simmetria per semplificare i calcoli.
mi spiace ma proprio non ci salto fuori.. ho fatto il disegno sul piano xz della circonferenza di centro l'origine e raggio $sqrt(1-y^2)$
ho disegnato l'iperbole equilatera ma quando metto a sistema con $y=xz$ ed esplicito rispetto a $z$ (perchè siamo sul piano xz con x ascisse e z ordinate)
mi vengono degli x^4 con discriminante con dentro degli y^4...
non so come fare! T.T
ho disegnato l'iperbole equilatera ma quando metto a sistema con $y=xz$ ed esplicito rispetto a $z$ (perchè siamo sul piano xz con x ascisse e z ordinate)
mi vengono degli x^4 con discriminante con dentro degli y^4...
non so come fare! T.T
Ok. Stesso ragionamento di prima ma vedendo $z$ come parametro. Se fai il grafico nel piano $xy$ avrai una piacevole sorpresa. Volendo puoi passare anche a coordinate cilindriche, ma prima ti consiglio di fare il calcolo in coordinate cartesiane.
"speculor":
Ok. Stesso ragionamento di prima ma vedendo $z$ come parametro. Se fai il grafico nel piano $xy$ avrai una piacevole sorpresa. Volendo puoi passare anche a coordinate cilindriche, ma prima ti consiglio di fare il calcolo in coordinate cartesiane.
uhm.. guarda io mi son fatto il disegno ma mi viene fuori una circonferenza e intersecata con l'iperbole viene un macello di roba... poi non riesco a trovare gli estremi... adesso proverò a vedere il tutto come piano xy allora....
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