Ragguagli per le equazioni differenziali di ordine n
Salve, volevo sapere dove trovare qualche esercizio svolto / trucco per risolvere le equazioni differenziali di ordine n a coefficienti non costanti. So che non c'è una formula risolutiva, però spero ci sia qualche trucco da applicare, sapete niente?
Ad esempio l'equazione
$tu''' + 3t^2 u'' + 6tu'' -6u = 0$
come si può risolvere? che io non so fare altro che andare a tentativi!
oppure come si risolve
$t^2 u'' + 4tu' + 2 u = t$?
Voglio solo avere qualche suggerimento su come muoversi quando ho di fronte questo tipo di esercizi, non importa che me li risolviate, grazie in anticipo!
Ad esempio l'equazione
$tu''' + 3t^2 u'' + 6tu'' -6u = 0$
come si può risolvere? che io non so fare altro che andare a tentativi!
oppure come si risolve
$t^2 u'' + 4tu' + 2 u = t$?
Voglio solo avere qualche suggerimento su come muoversi quando ho di fronte questo tipo di esercizi, non importa che me li risolviate, grazie in anticipo!
Risposte
Usare il metodo di soluzione per serie. In pratica poni
$y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$, derivi questa serie termine a termine ed ottieni una nuova equazione nei coefficienti della serie.
$y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$, derivi questa serie termine a termine ed ottieni una nuova equazione nei coefficienti della serie.
mmh
vediamo un esempio:
$ (t^2 +1) u'' (t) - 2t u'(t) + 2u(t) = 0$
allora pongo $u(t) = \sum a_nt^n$
$u' (t) = \sum n a_n t^(n-1)$
$u'' (t ) = \sum n (n-1)a_nt^(n-2)$
ora sostituisco nell'equazione:
$(t^2 +1) (\sum n (n-1)a_nt^(n-2)) - 2t ( \sum n a_n t^(n-1)) +2 \sum n (n-1)a_nt^(n-2) = 0$
ok ora raccolgo i termine di ordine uguale:
$ (n(n-1)a_n + na_n +a_n) t^n + (n (n-1)a_n-1 + na_n-1 -a_n-1) t^(n-1) +...+(2a_2 -12a_4 + 2a_2 -a_2) t^2 + (a_1 -6a_3- a_1) t = 0 $
considero gli ultimi fattori e ho
$3a_2 -12 a_4 = 0$
$6a_3= 0 $
e ora che faccio?
vediamo un esempio:
$ (t^2 +1) u'' (t) - 2t u'(t) + 2u(t) = 0$
allora pongo $u(t) = \sum a_nt^n$
$u' (t) = \sum n a_n t^(n-1)$
$u'' (t ) = \sum n (n-1)a_nt^(n-2)$
ora sostituisco nell'equazione:
$(t^2 +1) (\sum n (n-1)a_nt^(n-2)) - 2t ( \sum n a_n t^(n-1)) +2 \sum n (n-1)a_nt^(n-2) = 0$
ok ora raccolgo i termine di ordine uguale:
$ (n(n-1)a_n + na_n +a_n) t^n + (n (n-1)a_n-1 + na_n-1 -a_n-1) t^(n-1) +...+(2a_2 -12a_4 + 2a_2 -a_2) t^2 + (a_1 -6a_3- a_1) t = 0 $
considero gli ultimi fattori e ho
$3a_2 -12 a_4 = 0$
$6a_3= 0 $
e ora che faccio?
Mettici gli indici! Se hai $y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n t^n$, allora $y'(t)=\sum_{n=0}^\infty n a_n t^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n a_{n} t^{n-1}$ e $y''(t)=\sum_{n=1} n(n-1) a_{n} t^{n-2}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n-2}$, da cui sostituendo
$(1+t^2)\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n-2}-2t\sum_{n=1}^\infty n a_{n} t^{n-1}+2\sum_{n=0}^\infty a_n t^n=0$
da cui
$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n-2}+\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n}-\sum_{n=1}^\infty 2n a_{n} t^{n}+\sum_{n=0}^\infty 2a_n t^n=0$
e riportando tutto all'indice minimo
$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} t^n+\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n t^n-\sum_{n=1}^\infty 2n a_n t^n+\sum_{n=0}^\infty 2a_n t^n=0$.
A questo punto raccogliamo gli esponenti omologhi ottenendo
$(2a_2+2a_0)+(6 a_3-2a_1+2a_1)t+\sum_{n=2}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2}+n(n-1) a_n-2n a_n+2a_n]t^n=0$
che conduce alle equazioni
$a_2+a_0=0,\qquad a_3=0,\qquad a_{n+2}=-\frac{(n-2)(n-1)}{(n+2)(n+1)} a_n,\ n\geq 2$.
Risolvendo otteniamo $a_2=-a_0$, $a_1$ scelto arbitrariamente, $a_n=0$ per $n\geq 3$.
La soluzione è quindi $y(t)=a_0+a_1 t-a_0 t^2$, con $a_0,\ a_1$ costanti arbitrarie.
$(1+t^2)\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n-2}-2t\sum_{n=1}^\infty n a_{n} t^{n-1}+2\sum_{n=0}^\infty a_n t^n=0$
da cui
$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n-2}+\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_{n} t^{n}-\sum_{n=1}^\infty 2n a_{n} t^{n}+\sum_{n=0}^\infty 2a_n t^n=0$
e riportando tutto all'indice minimo
$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} t^n+\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n t^n-\sum_{n=1}^\infty 2n a_n t^n+\sum_{n=0}^\infty 2a_n t^n=0$.
A questo punto raccogliamo gli esponenti omologhi ottenendo
$(2a_2+2a_0)+(6 a_3-2a_1+2a_1)t+\sum_{n=2}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2}+n(n-1) a_n-2n a_n+2a_n]t^n=0$
che conduce alle equazioni
$a_2+a_0=0,\qquad a_3=0,\qquad a_{n+2}=-\frac{(n-2)(n-1)}{(n+2)(n+1)} a_n,\ n\geq 2$.
Risolvendo otteniamo $a_2=-a_0$, $a_1$ scelto arbitrariamente, $a_n=0$ per $n\geq 3$.
La soluzione è quindi $y(t)=a_0+a_1 t-a_0 t^2$, con $a_0,\ a_1$ costanti arbitrarie.
Perfetto ti ringrazio! Che procedimento lungo!
Eh....
Comunque mi sa che quelle con coefficienti polinomiali si possono risolvere in un altro modo, tipo con le trasformate di Laplace. O magari ancora con altri metodi più veloci!
Comunque mi sa che quelle con coefficienti polinomiali si possono risolvere in un altro modo, tipo con le trasformate di Laplace. O magari ancora con altri metodi più veloci!
"Zkeggia":
oppure come si risolve
$t^2 u'' + 4tu' + 2 u = t$?
L'equazione omogenea associata a questa è un'equazione di Eulero, quindi i suoi integrali sono potenze di $t$.
Infatti poniamo $u=t^lambda$ e sostituiamo in $t^2u''+4tu'+2u=0$: derivando otteniamo:
$u'=lambda t^(lambda-1), u''=lambda(lambda-1)t^(lambda-2)$
quindi:
$t^2u''+4tu'+2u=lambda(lambda-1)t^lambda+4lambdat^lambda+2t^lambda=0 \Leftrightarrow$
$\quad \Leftrightarrow lambda(lambda-1)+4lambda+2=0 \Leftrightarrow$
$\quad Leftrightarrow lambda=-1 " oppure " lambda=-2$.
Ne viene che l'integrale generale dell'omogenea è:
$\bar(u)=c_1/t+c_2/t^2 \quad$.
Per ricavare l'integrale generale dell'equazione completa dovresti andare a fare la variazione delle costanti.
P.S.: Nella prima equazione che hai scritto ci sono delle $y$... Credo siano da interpretare come $u$, o sbaglio?
sì grazie Gugo, sono da interpretare come u, comunque anche la prima equazione è di eulero e quindi si risolve allo stesso modo! grazie mille per il link.
Affinché la prima equazione sia di Eulero, occorre che ci sia un $t^3$ che moltiplica $u'''$...
Dal testo riportato non si direbbe, o hai sbagliato a scrivere?
Dal testo riportato non si direbbe, o hai sbagliato a scrivere?
no non ho sbagliato a scrivere, non mi sono accorto che mancava un esponente. Questo lo risolvo come ha suggerito ciampax o c'è un metodo più veloce?
A occhio, non saprei dirti se c'è qualche metodo più veloce.
Potresti provare con qualche trasformata, come dice ciampax, ma non sono un grande esperto.
Sicuramente lo sviluppo in serie ti permette di determinare qualcosa, epperò dovresti pure far vedere che la serie che trovi alla fine ha raggio di convergenza non nullo (ossia che è una "vera" serie di potenze...
).
Potresti provare con qualche trasformata, come dice ciampax, ma non sono un grande esperto.
Sicuramente lo sviluppo in serie ti permette di determinare qualcosa, epperò dovresti pure far vedere che la serie che trovi alla fine ha raggio di convergenza non nullo (ossia che è una "vera" serie di potenze...
).
Ol diciamo che l'1 e 20 di notte è troppo tardi per studiare altre cose, grazie a te e a ciampax per l'aiuto utilissimo, buona notte!
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