Raggio di convergenza serie di potenze, derivata e integrata
Sugli appunti del corso di Analisi II ho trovato il seguente risultato:
Teorema Detta $f$ la somma della serie di potenze : (1) $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$ allora $AAx$ appartenente all'intervallo di convergenza si ha:
(2) $f'(x)=\sum_{n=1}^infty na_nx^{n-1}$
(3) $int_0^x f(x)= \sum_{n=0}^infty a_n/{n+1} x^{n+1}$
Inoltre le serie di potenze a secondo membro nelle (2) e (3) hanno lo stesso
raggio di convergenza della serie di potenze della (1).
Dimostrazione:
Le serie a secondo mebro in (2) e (3) e la serie (1) hanno lo
stesso raggio di convergenza in quanto si ha
$lim_(n->infty) root(n) |a_n| =lim_(n->infty) root(n){(n+1)|a_{n+1}|}=lim_(n->infty) root (n){|a_{n-1}|/n$}
Si applica allora il Teorema di Cauchy-Hadamard cioè
$lim_(n->infty) root(n) |a_n| =l$ dove $r=1/l$ raggio di convergenza
(Tutti i limiti sono limiti superiori, ma non sono riuscita a scriverli con i dollari
)
Ma sinceramente questa dimostrazione non mi è chiara, sul libro ho trovato un teorema sul raggio di convergenza della serie derivata ossia:
Teorema Una serie di potenze ha lo stesso ragio di convergenza della sua serie derivata:
Dimostrazione:
In luogo della serie derivata $\sum_{n=1}^infty na_nx^{n-1}$ consideriamo la serie :
$\sum_{n=0}^infty n a_n x^n= x \sum_{n=1}^infty n a_nx^{n-1}$
che ha lo stesso raggio di convergenza della (2) , essendo da questa ottenuta moltiplicando per il fattore $x$ che non dipende da $n$.
$lim_(n->infty) root(n) |a_n|=lim_(n->infty) root(n){ n |a_n|}$ poichè $lim_(n->infty) root(n) n =1$
il quale poi implica che il raggio di convergenza della (2) sia uguale a quello della (1)
Volendo usare la seconda dimostrazione, che mi risulta più chiara, come dimostro che anche $\sum_{n=0}^infty a_n/{n+1} x^{n+1}$ ha lo stesso raggio di convergenza delle altre due?
Volendo usare la prima dimostrazione invece.. c'è qualcuno che me la spiegherebbe?
Teorema Detta $f$ la somma della serie di potenze : (1) $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$ allora $AAx$ appartenente all'intervallo di convergenza si ha:
(2) $f'(x)=\sum_{n=1}^infty na_nx^{n-1}$
(3) $int_0^x f(x)= \sum_{n=0}^infty a_n/{n+1} x^{n+1}$
Inoltre le serie di potenze a secondo membro nelle (2) e (3) hanno lo stesso
raggio di convergenza della serie di potenze della (1).
Dimostrazione:
Le serie a secondo mebro in (2) e (3) e la serie (1) hanno lo
stesso raggio di convergenza in quanto si ha
$lim_(n->infty) root(n) |a_n| =lim_(n->infty) root(n){(n+1)|a_{n+1}|}=lim_(n->infty) root (n){|a_{n-1}|/n$}
Si applica allora il Teorema di Cauchy-Hadamard cioè
$lim_(n->infty) root(n) |a_n| =l$ dove $r=1/l$ raggio di convergenza
(Tutti i limiti sono limiti superiori, ma non sono riuscita a scriverli con i dollari
)Ma sinceramente questa dimostrazione non mi è chiara, sul libro ho trovato un teorema sul raggio di convergenza della serie derivata ossia:
Teorema Una serie di potenze ha lo stesso ragio di convergenza della sua serie derivata:
Dimostrazione:
In luogo della serie derivata $\sum_{n=1}^infty na_nx^{n-1}$ consideriamo la serie :
$\sum_{n=0}^infty n a_n x^n= x \sum_{n=1}^infty n a_nx^{n-1}$
che ha lo stesso raggio di convergenza della (2) , essendo da questa ottenuta moltiplicando per il fattore $x$ che non dipende da $n$.
$lim_(n->infty) root(n) |a_n|=lim_(n->infty) root(n){ n |a_n|}$ poichè $lim_(n->infty) root(n) n =1$
il quale poi implica che il raggio di convergenza della (2) sia uguale a quello della (1)
Volendo usare la seconda dimostrazione, che mi risulta più chiara, come dimostro che anche $\sum_{n=0}^infty a_n/{n+1} x^{n+1}$ ha lo stesso raggio di convergenza delle altre due? Volendo usare la prima dimostrazione invece.. c'è qualcuno che me la spiegherebbe?
Risposte
Nella prima ti salta il passaggio per cui il limite superiore del prodotto di due successioni di cui una convergente e' il prodotto dei limiti superiori(almeno nei casi di successioni termini positivi), mentre nella seconda, pure, ma ti esplicita almeno il perche' si e' potuto fare, infatti il $lim_(n->+infty) (n)^(1/n) = 1$ ed e' un limite notevole, cioe' uno di quelli che, col proseguo degli studi, non ti dicono piu' quanto fa, lo danno per scontato, un po' come il limite per $x->0$ di $sin(x)/x$.
Intanto grazie della risposta 
Tu intendi le successioni $root(n)n+1$ e $root (n){1/n}$?
Quindi quei tre limiti sono uguali perchè $lim_(n->+infty) (n)^(1/n) = 1$ e $lim_(n->+infty) (n)^(-1/n) = 1$?
Poichè sono uguali allora si applica allora il Teorema di Cauchy-Hadamard solo a $lim_(n->+infty) a(a_n)^(1/n)$ ?
La cosa che mi disturba nella dimostrazione sono gli indici!! Perchè mettere $a_{n-1}$ e $a_{n+1}$ ?
Tu intendi le successioni $root(n)n+1$ e $root (n){1/n}$?
Quindi quei tre limiti sono uguali perchè $lim_(n->+infty) (n)^(1/n) = 1$ e $lim_(n->+infty) (n)^(-1/n) = 1$?
Poichè sono uguali allora si applica allora il Teorema di Cauchy-Hadamard solo a $lim_(n->+infty) a(a_n)^(1/n)$ ?
La cosa che mi disturba nella dimostrazione sono gli indici!! Perchè mettere $a_{n-1}$ e $a_{n+1}$ ?
Beh quelli sono la conseguenza delle operazioni rispettivamente di derivazione e integrazione, ma non te ne preoccupare piu' di tanto, qualunque forma di convergenza delle serie non dipende da un qualunque numero di termini iniziali, quindi gli indici sistemali come piu' ti fa comodo, avendo cura di rispettarne il valore.
Cioe' fai una sostituzione ponendo n-1=m e n+1=m per esempio, cambieranno gli indici, ma non il carattere della serie, e nemmeno la somma. Ci devi fare un po' di pratica, anzi ti consiglio di farle queste modificazioni, perche' sono molto usate, e spesso generano confusione, ma in realta' sono abbastanza semplici.
Certo i limiti di cui sopra sono sempre 1, cio' deriva dallo studio delle successioni. Ciao
Cioe' fai una sostituzione ponendo n-1=m e n+1=m per esempio, cambieranno gli indici, ma non il carattere della serie, e nemmeno la somma. Ci devi fare un po' di pratica, anzi ti consiglio di farle queste modificazioni, perche' sono molto usate, e spesso generano confusione, ma in realta' sono abbastanza semplici.
Certo i limiti di cui sopra sono sempre 1, cio' deriva dallo studio delle successioni. Ciao
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