Raggio di convergenza serie di potenze.

[Gelax1]

Salve a tutti... sto ripassando analisi, ma mi sono bloccato con questo esercizio....
devo calcolare il suo raggio di convergenza ρ e l’insieme E di tutti gli x tali che la serie converge.

$ sum_(n = 1)^(oo)(6^n+(-7)^n)/(n)(x+1/7)^n $

ho provato utilizzando il criterio della radice ma rimango bloccato a

$ lim_(n -> oo) (-1/(n/7^n))(x^n) $

quindi:

$ lim_(n -> oo) (-x^n/(n/7^n)) $

e qui mi blocco....

Grazie a tutti per le eventuali risposte..

[dissonance]

La cosa vantaggiosa di una serie di potenze $sum a_n(x-x_0)^n$ è proprio il fatto che il criterio di convergenza di Cauchy-Hadamard si basa su un limite di successione numerica, indipendente da $x$:

se $lim_{n\to \infty} |a_n|^{1/n}=L$ [size=75](*)[/size] allora la serie converge uniformemente nei sottointervalli compatti di $(x_0-1/L, x_0+1/L)$, intendendo $1/L=+\infty$ qualora $L=0$ e $1/L=0$ qualora $L=+\infty$. In quest'ultimo caso, si intende che la serie converge solo per $x=x_0$.

Nella tua applicazione del criterio di Cauchy-Hadamard compare la $x$, quindi stai facendo le cose più complicate del necessario.
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[size=75](*)[/size] Qui è detto tutto con i piedi. Per fare le cose a modino, in luogo del limite ci vuole il limite superiore.