Raggio di convergenza serie di Laurent
Data la seguente funzione:
$(z-sin(z))/z^2+e^(-1/z^4)$
si chiedeva di svilupparla in serie di Laurent nel punto z=0 e quindi calcolarne il raggio di convergenza.
Ora lo sviluppo in serie di Laurent dovrebbe essere questo:
$\sum_{k>1}((-1)^n*z^(2n-1))/((2n+1)!)+sum_{k>0}(-1)^n/(z^(4n)*n!)$
Potreste dirmi se questo sviluppo è corretto ed aiutarmi per il calcolo del raggio di convergenza?
$(z-sin(z))/z^2+e^(-1/z^4)$
si chiedeva di svilupparla in serie di Laurent nel punto z=0 e quindi calcolarne il raggio di convergenza.
Ora lo sviluppo in serie di Laurent dovrebbe essere questo:
$\sum_{k>1}((-1)^n*z^(2n-1))/((2n+1)!)+sum_{k>0}(-1)^n/(z^(4n)*n!)$
Potreste dirmi se questo sviluppo è corretto ed aiutarmi per il calcolo del raggio di convergenza?
Risposte
Nel caso della serie di Laurent, a differenza del caso della serie di Taylor, si parla in generale non di cerchio di convergenza bensi' di anello di convergenza , ossia di due numeri reali $r_{1}$ ed $r_{2}$ tali che la serie converge per $r_{1}<|z- z_{0}|< r_{2}$. In generale la funzione f(z) puo' essere divisa in due...
$f(z)= f_{a}(z) + f_{p} (z)$ (1)
... dove $f_{a}(z)$ e' la 'parte analitica' e $f_{p}(z)$ e' la 'parte principale'. Ora in pratica $r_{1}$ dipende da $f_{p}(z)$ ed $r_{2}$ da $f_{a}(z)$ e siccome nel nostro caso e'...
$f_{a}(z)= \frac{z - \sin z}{z^{2}$
$f_{p}(z)= e^{- \frac{1}{z^{4}}$ (2)
... per cui e' facile vedere che e' $r_{1}=0$ e $r_{2}= \infty$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$f(z)= f_{a}(z) + f_{p} (z)$ (1)
... dove $f_{a}(z)$ e' la 'parte analitica' e $f_{p}(z)$ e' la 'parte principale'. Ora in pratica $r_{1}$ dipende da $f_{p}(z)$ ed $r_{2}$ da $f_{a}(z)$ e siccome nel nostro caso e'...
$f_{a}(z)= \frac{z - \sin z}{z^{2}$
$f_{p}(z)= e^{- \frac{1}{z^{4}}$ (2)
... per cui e' facile vedere che e' $r_{1}=0$ e $r_{2}= \infty$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Grazie mille per il tuo aiuto 
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