Raggio di convergenza ed insieme di convergenza
Ciao!
Data una serie, come ottengo il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza?
Io ho capito che il raggio di convergenza è il reciproco del risultato della serie svolta con il metodo della radice o del rapporto. E' giusto? Questo vale per qualsiasi serie?
L'insieme di convergenza come si trova? Se potete fare qualche esempio è meglio
Grazie in anticipo
Data una serie, come ottengo il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza?
Io ho capito che il raggio di convergenza è il reciproco del risultato della serie svolta con il metodo della radice o del rapporto. E' giusto? Questo vale per qualsiasi serie?
L'insieme di convergenza come si trova? Se potete fare qualche esempio è meglio
Grazie in anticipo
Risposte
Che ne dice il tuo libro di Analisi II?
Perchè quelle cose che citi hanno a che fare con serie di funzioni particolari, no?
Perchè quelle cose che citi hanno a che fare con serie di funzioni particolari, no?
Il mio libro non ne parla -.-
Ho guardato un pò su internet ma non ho capito molto..
Comunque il mio esame è di Analisi I non II
Ho guardato un pò su internet ma non ho capito molto..
Comunque il mio esame è di Analisi I non II
Allora posta un esercizio e se ne parla insieme.
Data questa serie $\sum_{n=0}^(\+infty) (n^3 + 1)/(e^(n+1))x^n$
(a) determinare il raggio di convergenza $r$
(b) determinare l'insieme di convergenza $E$
La soluzione dovrebbe essere $r = e$ e $E = (-e,e)$
(a) determinare il raggio di convergenza $r$
(b) determinare l'insieme di convergenza $E$
La soluzione dovrebbe essere $r = e$ e $E = (-e,e)$
Ma quella è una serie numerica... Che c'entra il "raggio di convergenza"???
"gugo82":
Ma quella è una serie numerica... Che c'entra il "raggio di convergenza"???
Scusa avevo dimenticato un pezzo.. Ho modificato il messaggio di prima
Ah, ecco...
Visto che stai studiando per Analisi I, considera la tua serie come una serie i cui addendi \(a_n\) dipendano dal paramentro \(x\), cioè pensa alla tua serie come a una cosa del tipo \(\sum a_n(x)\) (serie di questo genere, più avanti, le chiamerai serie di funzioni).
Chiaramente, al variare del parametro \(x\) possono presentarsi diverse alternative: ad esempio, per alcuni valori del parametro \(x\) la tua serie \(\sum a_n(x)\) potrebbe risultare assolutamente convergente; per altri valori potrebbe essere solo semplicemente convergente; o, per altri valori ancora, potrebbe risultare indeterminata...
Quando ti viene chiesto di determinare l'insieme di convergenza di una serie parametrica \(\sum a_n(x)\), ti si sta chiedendo di determinare tutti e soli i valori di \(x\) che rendano convergente la serie numerica \(\sum a_n(x)\); fatto ciò, l'insieme di convergenza di \(\sum_n a_n(x)\) è quello definito ponendo:
\[
X:=\left\{ x\in \mathbb{R}:\ \sum a_n(x) \text{ è una serie numerica convergente}\right\} \; .
\]
In generale, ossia quando non hai informazioni specifiche su come gli \(a_n(x)\) dipendano dal parametro \(x\), l'insieme di convergenza \(X\) di \(\sum a_n(x)\) può essere un qualsiasi sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) (e.g., può essere vuoto, può ridursi ad un numero finito di punti, può essere un intervallo -aperto, chiuso o semiaperto-, può essere un'unione di intervalli di specie differenti, può essere unione di punti isolati ed intervalli, etc...).
Tuttavia, quando si ha:
\[
\tag{P}
a_n(x)=\alpha_n\ x^n\; ,
\]
cioè quando gli \(a_n(x)\) sono direttamente proporzionali alle potenze di \(x\), allora l'insieme di convergenza di \(\sum a_n(x)=\sum \alpha_n x^n\) può essere solo di tre tipi:
i. o è \(X=\{ 0\}\),
ii. oppure è \(X=\mathbb{R}\),
iii. ovvero è \(X=I\) con \(I\) intervallo di centro \(0\) (che può essere chiuso, aperto o semiaperto) avente semiampiezza \(r>0\).
Dato che \(\{ 0\}\) ed \(\mathbb{R}\) sono intervalli di centro \(0\), seppure degeneri, solo nel caso \(\sum a_n(x)=\sum \alpha_n x^n\) ci si riferisce ad \(X\) col nome di intervallo di convergenza della serie (e non col nome "generico" insieme di convergenza).
Inoltre, nel caso si presenti l'eventualità i, si dice che "il raggio di convergenza di \(\sum a_n(x)=\sum \alpha_n x^n\) è nullo" e si pone \(\rho =0\); nel caso ii, si dice che "il raggio di convergenza è infinito" e si pone per convenzione \(\rho=\infty\); nell'occorrenza di iii, si dice che "il raggio di convergenza della serie è finito e positivo" e si pone \(\rho=r\) (semiampiezza dell'intervallo di convergenza).
***
Nel tuo caso, la serie parametrica \(\sum a_n(x)\) ha addendi del tipo (P) con \(\alpha_n := (n^3+1)/e^{n+1}\), quindi il suo insieme di convergenza \(X\) è certamente un intervallo di centro \(0\) di uno dei tipi i - iii.
Quindi adesso dobbiamo determinare per quali valori di \(x\) la tua serie converge.
Per fare ciò, riteniamo \(x\) fissato, e cerchiamo di applicare qualche criterio di convergenza. Dato che gli addendi della serie dipendono da potenze di \(x\), sembra opportuno usare il criterio della radice: abbiamo:
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{|a_n(x)|} &= \sqrt[n]{|\alpha_n|\ |x^n|} \\
&=\sqrt[n]{\frac{n^3+1}{e^{n+1}}}\ |x|\\
&=\sqrt[n]{n^3+1}\ \frac{1}{e^{1+1/n}}\ |x|\\
&= (\sqrt[n]{n})^3\ \sqrt[n]{1+\frac{1}{n^3}}\ \frac{1}{e^{1+1/n}}\ |x|
\end{split}
\]
e, visto che \(\sqrt[n]{n}\to 1\), \(1/n,1/n^3\to 0\), dalla precedente si trae:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|a_n(x)|} = \frac{|x|}{e}\; ;
\]
il criterio della radice ci dice che la serie \(\sum a_n(x)\) converge assolutamente se \(\frac{|x|}{e}<1\), diverge se \(\frac{|x|}{e}>1\) e lascia indeterminato (e pronto ad una più approfondita analisi) il caso \(\frac{|x|}{e}=1\); pertanto la serie assegnata converge assolutamente per \(|x|e\).
Determinato l'intervallo di convergenza assoluta, cerchiamo di capire se tra i punti di \(\mathbb{R}\setminus ]-e,e[ = ]-\infty ,-e]\cup [e,+\infty[\) vi sia qualche valore di \(x\) per cui la serie assegnata converga semplicemente.
Se \(x=e\), la serie diventa:
\[
\sum \frac{n^3+1}{e^{n+1}}\ x^n\Big|_{x=e} = \frac{1}{e}\ \sum n^3+1
\]
ed essa diverge positivamente: quindi \(e\) non appartiene all'intervallo di convergenza.
Se \(x=-e\), allora:
\[
\sum \frac{n^3+1}{e^{n+1}}\ x^n\Big|_{x=e} = \frac{1}{e}\ \sum (-1)^n (n^3+1)
\]
che è indeterminata: quindi nemmeno \(-e\) appartiene all'intervallo di convergenza.
D'altra arte, se \(x>e\) oppure se \(x<-e\), la serie \(\sum a_n(x)\) non ha la successione degli addendi infinitesima, cioè non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza: pertanto nessun \(x\in ]-\infty, -e[\cup]e,+\infty[\) sta nell'insieme di convergenza.
Abbiamo così trovato che la serie parametrica \(\sum a_n(x)=\sum \frac{n^3+1}{e^{n+1}}\ x^n\) converge nell'intervallo \(X=]-e,e[\) e, quindi, il suo raggio di convergenza è \(\rho =e\).
***
Quando studierai le serie di funzioni, ti verrà detto che le serie con addendi del tipo (P) si chiamano serie di potenze e ti verrà dimostrato il teorema che garantisce che i casi i - iii sono gli unici a potersi presentare effettivamente.
Inoltre, ti verrà dimostrato che il raggio di convergenza \(\rho\) di una serie del tipo \(\sum \alpha_n x^n\) si trova usando la formula:
\[
\rho = \frac{1}{\operatorname{maxlim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\alpha_n|}}
\]
(con la convenzione \(1/0=\infty\) e \(1/\infty =0\)): questo si chiama teorema di Cauchy-Hadamard.
In particolare, se la successione \(\sqrt[n]{|\alpha_n|}\) è regolare, la regola precedente si semplifica in:
\[
\rho = \frac{1}{\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\alpha_n|}}\; ,
\]
che potrebbe essere applicata anche nel tuo caso, se la conoscessi.
Visto che stai studiando per Analisi I, considera la tua serie come una serie i cui addendi \(a_n\) dipendano dal paramentro \(x\), cioè pensa alla tua serie come a una cosa del tipo \(\sum a_n(x)\) (serie di questo genere, più avanti, le chiamerai serie di funzioni).
Chiaramente, al variare del parametro \(x\) possono presentarsi diverse alternative: ad esempio, per alcuni valori del parametro \(x\) la tua serie \(\sum a_n(x)\) potrebbe risultare assolutamente convergente; per altri valori potrebbe essere solo semplicemente convergente; o, per altri valori ancora, potrebbe risultare indeterminata...
Quando ti viene chiesto di determinare l'insieme di convergenza di una serie parametrica \(\sum a_n(x)\), ti si sta chiedendo di determinare tutti e soli i valori di \(x\) che rendano convergente la serie numerica \(\sum a_n(x)\); fatto ciò, l'insieme di convergenza di \(\sum_n a_n(x)\) è quello definito ponendo:
\[
X:=\left\{ x\in \mathbb{R}:\ \sum a_n(x) \text{ è una serie numerica convergente}\right\} \; .
\]
In generale, ossia quando non hai informazioni specifiche su come gli \(a_n(x)\) dipendano dal parametro \(x\), l'insieme di convergenza \(X\) di \(\sum a_n(x)\) può essere un qualsiasi sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) (e.g., può essere vuoto, può ridursi ad un numero finito di punti, può essere un intervallo -aperto, chiuso o semiaperto-, può essere un'unione di intervalli di specie differenti, può essere unione di punti isolati ed intervalli, etc...).
Tuttavia, quando si ha:
\[
\tag{P}
a_n(x)=\alpha_n\ x^n\; ,
\]
cioè quando gli \(a_n(x)\) sono direttamente proporzionali alle potenze di \(x\), allora l'insieme di convergenza di \(\sum a_n(x)=\sum \alpha_n x^n\) può essere solo di tre tipi:
i. o è \(X=\{ 0\}\),
ii. oppure è \(X=\mathbb{R}\),
iii. ovvero è \(X=I\) con \(I\) intervallo di centro \(0\) (che può essere chiuso, aperto o semiaperto) avente semiampiezza \(r>0\).
Dato che \(\{ 0\}\) ed \(\mathbb{R}\) sono intervalli di centro \(0\), seppure degeneri, solo nel caso \(\sum a_n(x)=\sum \alpha_n x^n\) ci si riferisce ad \(X\) col nome di intervallo di convergenza della serie (e non col nome "generico" insieme di convergenza).
Inoltre, nel caso si presenti l'eventualità i, si dice che "il raggio di convergenza di \(\sum a_n(x)=\sum \alpha_n x^n\) è nullo" e si pone \(\rho =0\); nel caso ii, si dice che "il raggio di convergenza è infinito" e si pone per convenzione \(\rho=\infty\); nell'occorrenza di iii, si dice che "il raggio di convergenza della serie è finito e positivo" e si pone \(\rho=r\) (semiampiezza dell'intervallo di convergenza).
***
Nel tuo caso, la serie parametrica \(\sum a_n(x)\) ha addendi del tipo (P) con \(\alpha_n := (n^3+1)/e^{n+1}\), quindi il suo insieme di convergenza \(X\) è certamente un intervallo di centro \(0\) di uno dei tipi i - iii.
Quindi adesso dobbiamo determinare per quali valori di \(x\) la tua serie converge.
Per fare ciò, riteniamo \(x\) fissato, e cerchiamo di applicare qualche criterio di convergenza. Dato che gli addendi della serie dipendono da potenze di \(x\), sembra opportuno usare il criterio della radice: abbiamo:
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{|a_n(x)|} &= \sqrt[n]{|\alpha_n|\ |x^n|} \\
&=\sqrt[n]{\frac{n^3+1}{e^{n+1}}}\ |x|\\
&=\sqrt[n]{n^3+1}\ \frac{1}{e^{1+1/n}}\ |x|\\
&= (\sqrt[n]{n})^3\ \sqrt[n]{1+\frac{1}{n^3}}\ \frac{1}{e^{1+1/n}}\ |x|
\end{split}
\]
e, visto che \(\sqrt[n]{n}\to 1\), \(1/n,1/n^3\to 0\), dalla precedente si trae:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|a_n(x)|} = \frac{|x|}{e}\; ;
\]
il criterio della radice ci dice che la serie \(\sum a_n(x)\) converge assolutamente se \(\frac{|x|}{e}<1\), diverge se \(\frac{|x|}{e}>1\) e lascia indeterminato (e pronto ad una più approfondita analisi) il caso \(\frac{|x|}{e}=1\); pertanto la serie assegnata converge assolutamente per \(|x|
Determinato l'intervallo di convergenza assoluta, cerchiamo di capire se tra i punti di \(\mathbb{R}\setminus ]-e,e[ = ]-\infty ,-e]\cup [e,+\infty[\) vi sia qualche valore di \(x\) per cui la serie assegnata converga semplicemente.
Se \(x=e\), la serie diventa:
\[
\sum \frac{n^3+1}{e^{n+1}}\ x^n\Big|_{x=e} = \frac{1}{e}\ \sum n^3+1
\]
ed essa diverge positivamente: quindi \(e\) non appartiene all'intervallo di convergenza.
Se \(x=-e\), allora:
\[
\sum \frac{n^3+1}{e^{n+1}}\ x^n\Big|_{x=e} = \frac{1}{e}\ \sum (-1)^n (n^3+1)
\]
che è indeterminata: quindi nemmeno \(-e\) appartiene all'intervallo di convergenza.
D'altra arte, se \(x>e\) oppure se \(x<-e\), la serie \(\sum a_n(x)\) non ha la successione degli addendi infinitesima, cioè non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza: pertanto nessun \(x\in ]-\infty, -e[\cup]e,+\infty[\) sta nell'insieme di convergenza.
Abbiamo così trovato che la serie parametrica \(\sum a_n(x)=\sum \frac{n^3+1}{e^{n+1}}\ x^n\) converge nell'intervallo \(X=]-e,e[\) e, quindi, il suo raggio di convergenza è \(\rho =e\).
***
Quando studierai le serie di funzioni, ti verrà detto che le serie con addendi del tipo (P) si chiamano serie di potenze e ti verrà dimostrato il teorema che garantisce che i casi i - iii sono gli unici a potersi presentare effettivamente.
Inoltre, ti verrà dimostrato che il raggio di convergenza \(\rho\) di una serie del tipo \(\sum \alpha_n x^n\) si trova usando la formula:
\[
\rho = \frac{1}{\operatorname{maxlim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\alpha_n|}}
\]
(con la convenzione \(1/0=\infty\) e \(1/\infty =0\)): questo si chiama teorema di Cauchy-Hadamard.
In particolare, se la successione \(\sqrt[n]{|\alpha_n|}\) è regolare, la regola precedente si semplifica in:
\[
\rho = \frac{1}{\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\alpha_n|}}\; ,
\]
che potrebbe essere applicata anche nel tuo caso, se la conoscessi.
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