Raggio di convergenza e somma serie di potenza

[kapooo-votailprof]

Dovrei trovare il raggio di convergenza e la somma della serie di una serie di potenza ostica (almeno per me)

$sum_(n=1)^oo((-1)^n)/((2n-1)!)(x/2-1)^(2n)((2n-1)!-4^n)$

Per quando riguarda il raggio di convergenza ho cercato di fare il limite per seguire la lemma di Abel ma mi blocco quando si ariva ad un rapporto di fattoriali. Per la somma invece meglio che non mi esprima

Qualcuno mi da una mano??

Grazie

[kapooo-votailprof]

Tutti in vacanza?? Nessuno è a casa come me e può darmi una mano??

[Luca.Lussardi]

Mi pare che l'unico "trucco" che possa servire sia $(2n+1)! =2n(2n+1)(2n-1)!$, poi è tutta algebra.

[kapooo-votailprof]

Grazie al tuo suggerimento ho ritentato di fare il limite.

$ lim_{n->+oo}(|(-1)^n/((2n-1)!)((2n-1)!-4^n)|)^(1/n) = lim_{n->+oo} |((-1)(2n-1)!((2n+1)!-4^(n+1)))/((2n+1)!((2n-1)!-4^n))|$ da qui sostituendo $(2n+1)!$ mi ritrovo dopo semplici semplificazioni:

$ lim_{n->+oo} ((2n(2n+1)(2n-1)!-4^(n+1))/(2n(2n+1)((2n-1)!-4^n))) = lim_{n->+oo} ((2n+1)!-2^(2n+2))/((2n+1)!-2^(2n+1)n) = ?$

Arrivato a questo punto non riesco comunque a calcolare il limite. Puoi darmi una mano?

Grazie

[Luca.Lussardi]

Attento a calcolare per bene cosa è $a_(n+1)$.

[kapooo-votailprof]

$a_(n+1) = (-1)^(n+1)/((2(n+1)-1)!)((2(n+1)-1)!-4^(n+1)) = (-1)^(n+1)/((2n+1)!)((2n+1)!-4^(n+1)) = ((-1)^(n+1)(2n+1)!-(-1)^(n+1)(4^(n+1)))/((2n+1)!) = (-1)^(n+1)((1-4^(n+1))/((2n+1)!))$

Da cui: $a_(n+1)/a_n = (-1)^(n+1)((1-4^(n+1))/((2n+1)!)))((2n-1)!)/((-1)^n(2n-1)!-4^n) = (4^(n+1)-1)/((2n+1)!)((2n-1)!)/((2n-1)!-4^n)$ sostituendo poi $((2n+1)!)$ abbiamo $4^(n+1)/(2n(2n+1)((2n-1)!-4^n))$

Ma (se non ho sbagliato calcoli) a questo punto come si procede??

grazie

[Luca.Lussardi]

Tieni conto che il fattoriale esplode più rapidamente dell'esponenziale...