Raggio di convergenza e somma serie complessa
Ciao a tutti,
volevo sottoporre alla vostra attenzione alcuni dubbi riguardanti un paio di esercizi sulle serie a termini complessi.
1) Riguardo la serie
$\sum_{n=2}^\infty\frac{e^(-2niz)}{e^i(n^3+(-1)^n)}$
Viene chiesto di calcolarne l'insieme di convergenza. Posto la mia risoluzione, vi prego di correggermi qualora ci fossero errori.
Scrivendo $e^(-2iz)=x$ otteniamo
$1/(e^i)\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{(n^3+(-1)^n)}$
Applicando il criterio del rapporto a questa serie di potenze, otteniamo
$\lim_{n \to \infty}|\frac{n^3+(-1)^n}{(n+1)^3+(-1)^(n+1)}|=1$
Il raggio di convergenza della serie è pertanto $R=1$ da cui
$|e^(-2iz)|< 1; |e^(-2Re(z)i)e^(2Im(z))|<1; e^(2Im(z))<1; Im(z)<0$
pertanto l'insieme di convergenza della serie è il semipiano inferiore del piano complesso.
Vi prego di farmi notare eventuali errori.
2) L'altra serie è nella forma
$\sum_{n=0}^\infty(1+i)^n(z-2i)^(2n+1)$
Viene chiesto di calcolarne l'insieme di convergenza e la somma.
Qui non riesco a giungere ad un insieme di convergenza facilmente esprimibile. Infatti, ponendo
$w=(z-2i)^2$
riesco ad ottenere
$sqrt(w)\sum_{n=0}^\infty(1+i)^nw^n$
Da cui, applicando il criterio della radice, ottengo
$\lim_{n \to \infty}root(n)(|1+i|^n)=|1+i|=2$
Però, al momento di calcolare il raggio per $z$, scrivendo
$|w|<1/2;|(z-2i)^2|<1/2;$
mi blocco, anche perchè penso che sviluppare il quadrato di binomio complesso non sia il procedimento corretto.
Avete qualche suggerimento? Magari al momento mi sfugge qualche proprietà del modulo o dei limiti che non ricordo.
Grazie in anticipo!
volevo sottoporre alla vostra attenzione alcuni dubbi riguardanti un paio di esercizi sulle serie a termini complessi.
1) Riguardo la serie
$\sum_{n=2}^\infty\frac{e^(-2niz)}{e^i(n^3+(-1)^n)}$
Viene chiesto di calcolarne l'insieme di convergenza. Posto la mia risoluzione, vi prego di correggermi qualora ci fossero errori.
Scrivendo $e^(-2iz)=x$ otteniamo
$1/(e^i)\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{(n^3+(-1)^n)}$
Applicando il criterio del rapporto a questa serie di potenze, otteniamo
$\lim_{n \to \infty}|\frac{n^3+(-1)^n}{(n+1)^3+(-1)^(n+1)}|=1$
Il raggio di convergenza della serie è pertanto $R=1$ da cui
$|e^(-2iz)|< 1; |e^(-2Re(z)i)e^(2Im(z))|<1; e^(2Im(z))<1; Im(z)<0$
pertanto l'insieme di convergenza della serie è il semipiano inferiore del piano complesso.
Vi prego di farmi notare eventuali errori.
2) L'altra serie è nella forma
$\sum_{n=0}^\infty(1+i)^n(z-2i)^(2n+1)$
Viene chiesto di calcolarne l'insieme di convergenza e la somma.
Qui non riesco a giungere ad un insieme di convergenza facilmente esprimibile. Infatti, ponendo
$w=(z-2i)^2$
riesco ad ottenere
$sqrt(w)\sum_{n=0}^\infty(1+i)^nw^n$
Da cui, applicando il criterio della radice, ottengo
$\lim_{n \to \infty}root(n)(|1+i|^n)=|1+i|=2$
Però, al momento di calcolare il raggio per $z$, scrivendo
$|w|<1/2;|(z-2i)^2|<1/2;$
mi blocco, anche perchè penso che sviluppare il quadrato di binomio complesso non sia il procedimento corretto.
Avete qualche suggerimento? Magari al momento mi sfugge qualche proprietà del modulo o dei limiti che non ricordo.
Grazie in anticipo!
Risposte
Sono passate 24 ore dal mio post, quindi mi permetto di riupparlo...
Confermo comunque che il mio problema principale è esprimere in forma più "significativa"
$|(z-2i)^2|<1/2;$
Ho provato a ragionare anche in senso "grafico", ma non sono giunto ad una soluzione.
Grazie di nuovo.
Confermo comunque che il mio problema principale è esprimere in forma più "significativa"
$|(z-2i)^2|<1/2;$
Ho provato a ragionare anche in senso "grafico", ma non sono giunto ad una soluzione.
Grazie di nuovo.
La prima è ok, ho considerato la seconda serie che hai scritto, perchè la prima non ho capito il testo, do' per buona la seconda insomma.
L'ultima serie a parte che c'è una radice di due, va bene, se sviluppi il modulo ti viene un bel cerchio divertiti a trovare il centro e il raggio.
Devi utilizzare le proprietà dell'operazione di complesso coniugato per venirne a capo facilmente.
[edit]
Il centro è qui $(0,2)$ il raggio è $1/(2^{1/4})$. Se rifletti un po' di più sulla disequazione, vedi che il centro lo trovi immediato, è in $2i$ il raggio fai un radice in più e trovi quello che ho scritto sopra, se vuoi sviluppare il modulo usa la definzione di modulo di un numero complesso.
L'ultima serie a parte che c'è una radice di due, va bene, se sviluppi il modulo ti viene un bel cerchio divertiti a trovare il centro e il raggio.
Devi utilizzare le proprietà dell'operazione di complesso coniugato per venirne a capo facilmente.
[edit]
Il centro è qui $(0,2)$ il raggio è $1/(2^{1/4})$. Se rifletti un po' di più sulla disequazione, vedi che il centro lo trovi immediato, è in $2i$ il raggio fai un radice in più e trovi quello che ho scritto sopra, se vuoi sviluppare il modulo usa la definzione di modulo di un numero complesso.
Ciao regim, grazie per la risposta e scusa se ti rispondo solo ora.
In realtà, sul fatto che l'insieme di convergenza fosse un cerchio, ero abbastanza sicuro, solo che non riuscivo a trovare un modo per esprimerlo.
Detto questo, ho ragionato un po' sul discorso che hai fatto e ho trovato la seguente cosa (dimmi se sbaglio in qualcosa): ponendo $x-2i=w$,
$|w^2|=|w*w|=|(w/\barw)*w*\barw|=|w|^2*(|w|/|\barw|)=|w|^2$
Di conseguenza, la disequazione diventa:
$|z-2i|^2<1/sqrt(2);|z-2i|<1/root(4)(2)$
Da cui segue ciò che mi hai scritto, ovvero cerchio centrato in $z=2i$ di raggio $1/root(4)(2)$.
Ti prego di farmi notare se ho sbagliato qualcosa. In ogni caso grazie mille, il tuo aiuto è stato prezioso!
EDIT: come chiaramente avviene in questi casi, mi sto accorgendo solo ora che da innumerevoli proprietà dei numeri complessi si deduce che il modulo del quadrato è uguale al quadrato del modulo (basti pensare alla semplice moltiplicazione, o allo sviluppo in forma esponenziale e trigonometrica). Avevo solo bisogno di rifletterci sopra, quindi grazie ancora.
In realtà, sul fatto che l'insieme di convergenza fosse un cerchio, ero abbastanza sicuro, solo che non riuscivo a trovare un modo per esprimerlo.
Detto questo, ho ragionato un po' sul discorso che hai fatto e ho trovato la seguente cosa (dimmi se sbaglio in qualcosa): ponendo $x-2i=w$,
$|w^2|=|w*w|=|(w/\barw)*w*\barw|=|w|^2*(|w|/|\barw|)=|w|^2$
Di conseguenza, la disequazione diventa:
$|z-2i|^2<1/sqrt(2);|z-2i|<1/root(4)(2)$
Da cui segue ciò che mi hai scritto, ovvero cerchio centrato in $z=2i$ di raggio $1/root(4)(2)$.
Ti prego di farmi notare se ho sbagliato qualcosa. In ogni caso grazie mille, il tuo aiuto è stato prezioso!
EDIT: come chiaramente avviene in questi casi, mi sto accorgendo solo ora che da innumerevoli proprietà dei numeri complessi si deduce che il modulo del quadrato è uguale al quadrato del modulo (basti pensare alla semplice moltiplicazione, o allo sviluppo in forma esponenziale e trigonometrica). Avevo solo bisogno di rifletterci sopra, quindi grazie ancora.
Come giustifichi la terza uguaglianza?
[tex]-----------------[/tex]
[tex]|zw| = \sqrt{\overline{zw}*{zw}} = \sqrt{\overline{z}{z}*\overline{w}{w}}=|z||w|[/tex]
[tex]z=w[/tex]
[tex]|w^2|=|w|^2[/tex]
[tex]-----------------[/tex]
[tex]-----------------[/tex]
[tex]|zw| = \sqrt{\overline{zw}*{zw}} = \sqrt{\overline{z}{z}*\overline{w}{w}}=|z||w|[/tex]
[tex]z=w[/tex]
[tex]|w^2|=|w|^2[/tex]
[tex]-----------------[/tex]
Aspetta, in quale serie di uguaglianze, nella mia o in quella che hai postato tu?
In quella che hai postato tu, la terza uguaglianza sarebbe
$sqrt(\barzz*\barww) = |z||w|$
e discende dal fatto che il prodotto di un complesso per il suo coniugato restituisce il modulo quadro del complesso stesso: $\barz*z=|z|^2$
Giusto?
In quella che hai postato tu, la terza uguaglianza sarebbe
$sqrt(\barzz*\barww) = |z||w|$
e discende dal fatto che il prodotto di un complesso per il suo coniugato restituisce il modulo quadro del complesso stesso: $\barz*z=|z|^2$
Giusto?
Cioè in quella uguaglianza che hai postato tu, devi comunque dimostrare che il modulo del rapporto è il rapporto dei moduli, ciò riconduce alla proprietà che stai cercando di dimostrare, e quindi...non puoi procedere in quel modo.
La definzione è la seguente:
[tex]|z|=\sqrt{\overline{z}z}[/tex]
PS
scusami il multipost percedente, non è stata colpa mia, ho cliccato tre o quattro volte sulla risposta e il server me le ha pubblicate tutte e quattro, la lentezza del server è probabilmente causata degli accessi dovuti al concorso a premi. Ciao
La definzione è la seguente:
[tex]|z|=\sqrt{\overline{z}z}[/tex]
PS
scusami il multipost percedente, non è stata colpa mia, ho cliccato tre o quattro volte sulla risposta e il server me le ha pubblicate tutte e quattro, la lentezza del server è probabilmente causata degli accessi dovuti al concorso a premi. Ciao
Hai ragione, la dimostrazione da te postata è quella formalmente corretta.
Grazie ancora per il tuo aiuto.
Ciao!
Grazie ancora per il tuo aiuto.
Ciao!
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