Raggio di convergenza di una serie di potenze

[proviamo01]

Salve ragazzi avrei bisogno di un aiuto:
$\sum_{n=2}^infty((n!+1)/((n+2)!))^(n/logn)*x^n$

Qualcuno sa come calcolare il raggio di convergenza di questa serie? Il risultato è $e^-2$

non so proprio come arrivarci...

[gugo82]

Definisci raggio di convergenza per una serie numerica, please.

[proviamo01]

Devo trovare Rho, credo tramite D'alambert o Cauchy.

[gugo82]

Ah, vedo che hai corretto il testo... Allora si tratta di una serie di potenze, non di una serie numerica!
A questo punto, correggi pure il titolo del thread.

Ad ogni buon conto, hai provato col criterio di Cauchy (quello con le radici)?
Detti $a_n$ i coefficienti della serie, mi pare che il limite:

$root(n)(a_n) = ((n! + 1)/((n+2)!))^(1/(log n))$

si calcoli con i soliti trucchi... Prova un po'.

[proviamo01]

Ho provato diverse volte, ma viene sempre infinito, non so dove sbaglio...
Tu sapresti svolgerla?

[gugo82]

Probabilmente sbagli qualche contariello, o approssimi con troppa fretta...

Infatti:

$root(n)(a_n) = exp (1/(log n) * log((n! + 1)/((n+2)!))) = exp(1/(log n) * log((n! + 1)/((n+2)(n+1)*n!))) = exp(1/(log n) * [-log(n^2 + 3n + 2) + log(1 + 1/(n!))]) ~~ exp(1/(log n) * (-2 log n))$,

quindi:

$lim_n root(n)(a_n) = e^(-2)$

e perciò $rho = e^2$.