Raggio di convergenza delle serie di potenze
Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze:
1) \(\displaystyle \sum \ (-1)^k 3^{-3k} x^k) \ \)
2) \(\displaystyle \sum 2^{log k} x^k\)
Nel 2) caso siccome so che logk si comporta come k, ho applicato la definizione del raggio di convergenza di una serie di potenze che dice che \(\displaystyle R= 1/ lim n-> ∞ \sqrt[n]{|an|} \) e ho trovato che R=2
Nel 1) caso applicando sempre la definizione di R di convergenza ho trovato che |(-1)3^(-3k)|, e quindi che il R è 1/27
E' giusto fare in questo modo? Grazie mille
1) \(\displaystyle \sum \ (-1)^k 3^{-3k} x^k) \ \)
2) \(\displaystyle \sum 2^{log k} x^k\)
Nel 2) caso siccome so che logk si comporta come k, ho applicato la definizione del raggio di convergenza di una serie di potenze che dice che \(\displaystyle R= 1/ lim n-> ∞ \sqrt[n]{|an|} \) e ho trovato che R=2
Nel 1) caso applicando sempre la definizione di R di convergenza ho trovato che |(-1)3^(-3k)|, e quindi che il R è 1/27
E' giusto fare in questo modo? Grazie mille
Risposte
Nel primo caso il raggio è $R=27$.
Nel secondo caso: secondo te $\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n}{n}=1$ ???????
Nel secondo caso: secondo te $\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n}{n}=1$ ???????
Scusa la mia ignoranza ma non ho capito cosa centra quel limite nel secondo caso.. cioè te dici che non posso considerare logx come x?
No, assolutamente. Se fosse come dici tu, quel limite dovrebbe valere 1, mentre in realtà vale?
0! Credo.. 
comunque il mio professore di analisi quando svolge le serie dice sempre che il logx si comporta come x! Mi chiedo solo se in questo caso non si possa fare a questo punto...
Lui spesso anche quando ha atanx considera come se ci fosse x.
comunque il mio professore di analisi quando svolge le serie dice sempre che il logx si comporta come x! Mi chiedo solo se in questo caso non si possa fare a questo punto...Lui spesso anche quando ha atanx considera come se ci fosse x.
Se il tuo docente afferma che per $x\to+\infty$ si ha $\log x\sim x$ allora consigliali di andare a zappare la terra! 
Io dubito che abbia affermato una cosa del genere! D'altra parte, anche la tua seconda affermazione non ha molto senso: dove $\arctan x\sim x$? Perché questa cosa è vera per $x\to 0$, mentre se $x\to \pm\infty$ allora $\arctan x\sim \pm \pi/2$.
Io dubito che abbia affermato una cosa del genere! D'altra parte, anche la tua seconda affermazione non ha molto senso: dove $\arctan x\sim x$? Perché questa cosa è vera per $x\to 0$, mentre se $x\to \pm\infty$ allora $\arctan x\sim \pm \pi/2$.
Ok.. e dunque come si risolve la serie?
Visto che $\lim_{k\to+\infty}\frac{\log k}{k}=0$ allora
$\lim_{k\to+\infty} (2^{\log k})^{1/k}=2^0=1$
e pertanto $R=1$. Però ti faccio presente che se non ti interroghi su quello che ti ho detto prima, non farai molta strada. (ed è un consiglio che ti do da docente, non per farti la paternale!)
$\lim_{k\to+\infty} (2^{\log k})^{1/k}=2^0=1$
e pertanto $R=1$. Però ti faccio presente che se non ti interroghi su quello che ti ho detto prima, non farai molta strada. (ed è un consiglio che ti do da docente, non per farti la paternale!)
Ho ripreso gli appunti del mio docente e lui questa serie ad esempio la risolve così:
\(\displaystyle \sum Arctan\frac{2}{2n^2+6n +3} \) Arctgx è dello stesso ordine di x e dunque la serie è dello stesso ordine di 1/n^2 e dunque CONVERGE.
\(\displaystyle \sum Arctan\frac{2}{2n^2+6n +3} \) Arctgx è dello stesso ordine di x e dunque la serie è dello stesso ordine di 1/n^2 e dunque CONVERGE.
Ed è vero: ma io ti chiedo "Hai capito perché"?
Penso sia perchè ai fini della serie ,che ci sia un arcotangente o un logaritmo prima è inifluente.
Ho trovato un altro esempio dove vi è la sostituzione di logx:
\(\displaystyle \sum n log (1+\frac{-1^n}{n(n+1)} ) \)
il professore lo ha svolto dicendo: siccome log(1+x) si comporta come x allora in [-1,1) converge.
Ho trovato un altro esempio dove vi è la sostituzione di logx:
\(\displaystyle \sum n log (1+\frac{-1^n}{n(n+1)} ) \)
il professore lo ha svolto dicendo: siccome log(1+x) si comporta come x allora in [-1,1) converge.
Oddio figlio bello: ma tu hai idea di cosa sia un infinitesimo, un infinito o il confronto locale?
Si certamente.. ma la mia domanda è, l'esercizio precendete che le ho postato cosa ha di sbagliato?
Mi scusi.. ma se ho una n che mi va all'infinito se ho il log(n) mi andrà all'infinito più lentamente ma ci andrà comunque..
Ma tu sai cosa sono due infiniti dello stesso ordine e quando ciò accade? E' vero che $\lim_{n\to+\infty}\log n=+\infty$, tuttavia $\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n}{n}=0$ e questo vuol dire che $\log n=o(n)$ e non che sono dello stesso ordine.
In ogni caso, che significa che indipendentemente che ci sia una arcotangente o un logaritmo prima è inunfluente? Secondo te, se ho una funzione per cui $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$ allora si ha che
$\log[f(x)]\sim f(x)$ e che $\arctan[f(x)]\sim f(x)$ per $x\to x_0$?*
Perché se sei convinto di questo, ti informo che devi riguardarti un pochino tutta la teoria.
--------------------
*: solo una delle due è vera.
In ogni caso, che significa che indipendentemente che ci sia una arcotangente o un logaritmo prima è inunfluente? Secondo te, se ho una funzione per cui $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$ allora si ha che
$\log[f(x)]\sim f(x)$ e che $\arctan[f(x)]\sim f(x)$ per $x\to x_0$?*
Perché se sei convinto di questo, ti informo che devi riguardarti un pochino tutta la teoria.
--------------------
*: solo una delle due è vera.
Io penso che in alcuni casi.. in alcune serie il fatto che ci sia un Atan(f(x)) conti poco ai fini di scoprire come si comporta la serie in questione, stesso discorso per il logaritmo. Detto ciò non ho ancora capito cosa ci sia di sbagliato nell'esercizio svolto dal mio professore dove dice che log(x+1) si comporta come x. NON CHE SONO DELLO STESSO ORDINE ma che se ho log(x) con x che va all'infinito, il logaritmo non mi cambia niente ai fini della convergenza o divergenza di una serie e quindi lo sostituisco con la x.
Comunque la ringrazio per le sue delucidazioni, molto utili, cercherò di chiarire il punto con il professore in prima persona, grazie.
Comunque la ringrazio per le sue delucidazioni, molto utili, cercherò di chiarire il punto con il professore in prima persona, grazie.
C'è di sbagliato che NON E' VERO CHE $\log x\sim x$ per $x\to+\infty$!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo