Raggio di convergenza della serie di taylor
Salve...
da un vecchio post (http://www.matematicamente.it/forum/serie-di-taylor-e-corretta-t41468.html) ho trovato la serie di taylor della f(x)= log(2x+4) che è $log 2\sum_{n=0}^oo (-1)^n *((2x)^(n+1))/(n+1)$
Ora per trovare il raggio di convergenza ho fatto il $\lim_{n \to \infty}|(a_n +1)/(a_n)|$ dove $a_n =(-1)^n/(n+1)$.
Saltando un pò di passaggi il limite esce $-1$ dunque il raggio di convergenza è $r=1/(-1)=-1$
siccome la serie è centrata in $x_0=0$ l'intervallo di convergenza è $(x_0-r,x_0+r)$ cioè $(1,-1)$ è possibile un intervallo del genere??? mi sa di no...
Poi una volta trovati gli estremi dell'intervallo come devo continuare??
grazie 1000!!
da un vecchio post (http://www.matematicamente.it/forum/serie-di-taylor-e-corretta-t41468.html) ho trovato la serie di taylor della f(x)= log(2x+4) che è $log 2\sum_{n=0}^oo (-1)^n *((2x)^(n+1))/(n+1)$
Ora per trovare il raggio di convergenza ho fatto il $\lim_{n \to \infty}|(a_n +1)/(a_n)|$ dove $a_n =(-1)^n/(n+1)$.
Saltando un pò di passaggi il limite esce $-1$ dunque il raggio di convergenza è $r=1/(-1)=-1$
siccome la serie è centrata in $x_0=0$ l'intervallo di convergenza è $(x_0-r,x_0+r)$ cioè $(1,-1)$ è possibile un intervallo del genere??? mi sa di no...
Poi una volta trovati gli estremi dell'intervallo come devo continuare??
grazie 1000!!
Risposte
... il raggio di convergenza è 1 per il valore assoluto.
Ricordati che R è sempre non negativo
Ricordati che R è sempre non negativo

"bius88":
Poi una volta trovati gli estremi dell'intervallo come devo continuare??
grazie 1000!!
Sì, dovresti controllare la convergenza agli estremi dell' intervallo di convergenza. In questo caso devi studiare la serie numerica per $x=-1$ e per $x=1$
giusto!!! mi sono dimenticato del valore assoluto!!! grazie 1000
Occhio che il r.d.c. di $\sum (-1)^n/(n+1) (2x)^(n+1)$ non è $1$, ma più piccolo.
Gugo82 ha ragione c'è quel $(2x)^(n+1)= 2^(n+1) x^(n+1)$ e per riscattarmi dall'errore/orrore lo risolvo 
in pratica $a_n=(-1)^n 2^(n+1)/(n+1)= 2(-2)^n/(n+1)$ di conseguenza:
$|a_{n+1}/a_n|= |2 (-2)^(n+1)/(n+2)* (n+1)/(2(-2)^n)|= |(-2 (n+1))/(n+2) |$
Pertanto il limite risulta essere uguale a 2, quindi il raggio di convergenza è $1/2$
Mi scuso per l'errore

in pratica $a_n=(-1)^n 2^(n+1)/(n+1)= 2(-2)^n/(n+1)$ di conseguenza:
$|a_{n+1}/a_n|= |2 (-2)^(n+1)/(n+2)* (n+1)/(2(-2)^n)|= |(-2 (n+1))/(n+2) |$
Pertanto il limite risulta essere uguale a 2, quindi il raggio di convergenza è $1/2$
Mi scuso per l'errore

Non avevi nulla da riscattare.
Casomai bius88 avrebbe dovuto accorgersi da solo dell'errore (grave) che ha commesso...
Casomai bius88 avrebbe dovuto accorgersi da solo dell'errore (grave) che ha commesso...
allora per $x=-1$ abbiamo che $log 2\sum_{n=0}^oo (-1)^n *((-2)^(n)*2)/(n+1)$
$\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)$ = $|-4/(n+1)^(1/n)|$ =$|-4|$= $4$
per $x=1$ esce sempre $4$
dunque?
Grazie
$\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)$ = $|-4/(n+1)^(1/n)|$ =$|-4|$= $4$
per $x=1$ esce sempre $4$
dunque?
Grazie
bius88 il raggio di convergenza è $R= 1/2$ di conseguenza l'intervallo di convergenza è $(-1/2,1/2)$ devi controllare agli estremi cosa fa la serie.
quindi devi controllare per $x= -1/2$ e $x= 1/2$
Nota che se $x=-1/2$ allora la serie numerica da studiare è:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(-1)^(n+1)}{n+1}=\sum_{n=0}^\infty - \frac{1}{n+1} $ che diverge negativamente (perchè?)
mentre per $x= 1/2$ la serie numerica è
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n /(n+1) $ converge per il famoso criterio di....
quindi devi controllare per $x= -1/2$ e $x= 1/2$
Nota che se $x=-1/2$ allora la serie numerica da studiare è:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(-1)^(n+1)}{n+1}=\sum_{n=0}^\infty - \frac{1}{n+1} $ che diverge negativamente (perchè?)
mentre per $x= 1/2$ la serie numerica è
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n /(n+1) $ converge per il famoso criterio di....
ok....la la seconda converge per leibniz!
grazie
grazie
la serie per $x=-(1/2)$ facendo il limite ad $oo$ viene 0.....perchè diverge?
"bius88":
la serie per $x=-(1/2)$ facendo il limite ad $oo$ viene 0.....perchè diverge?
Come dovresti ben sapere la condizione $a_n\to 0$ è solo necessaria alla convergenza di $\sum a_n$.
La serie che ottieni sostituendo $x=-1/2$ è proprio l'esempio classico di questo fatto... Se non la ricordi potresti aprire il tuo libro di Analisi, su cui sarà di certo spiegata.
si ora mi è venuta in mente....grazie Gugo82!