Raggio di convergenza della serie di taylor

bius88
Salve...
da un vecchio post (http://www.matematicamente.it/forum/serie-di-taylor-e-corretta-t41468.html) ho trovato la serie di taylor della f(x)= log(2x+4) che è $log 2\sum_{n=0}^oo (-1)^n *((2x)^(n+1))/(n+1)$
Ora per trovare il raggio di convergenza ho fatto il $\lim_{n \to \infty}|(a_n +1)/(a_n)|$ dove $a_n =(-1)^n/(n+1)$.
Saltando un pò di passaggi il limite esce $-1$ dunque il raggio di convergenza è $r=1/(-1)=-1$

siccome la serie è centrata in $x_0=0$ l'intervallo di convergenza è $(x_0-r,x_0+r)$ cioè $(1,-1)$ è possibile un intervallo del genere??? mi sa di no...
Poi una volta trovati gli estremi dell'intervallo come devo continuare??
grazie 1000!!

Risposte
salvozungri
... il raggio di convergenza è 1 per il valore assoluto.

Ricordati che R è sempre non negativo :)

salvozungri
"bius88":
Poi una volta trovati gli estremi dell'intervallo come devo continuare??
grazie 1000!!


Sì, dovresti controllare la convergenza agli estremi dell' intervallo di convergenza. In questo caso devi studiare la serie numerica per $x=-1$ e per $x=1$

bius88
giusto!!! mi sono dimenticato del valore assoluto!!! grazie 1000

gugo82
Occhio che il r.d.c. di $\sum (-1)^n/(n+1) (2x)^(n+1)$ non è $1$, ma più piccolo.

salvozungri
Gugo82 ha ragione c'è quel $(2x)^(n+1)= 2^(n+1) x^(n+1)$ e per riscattarmi dall'errore/orrore lo risolvo :)

in pratica $a_n=(-1)^n 2^(n+1)/(n+1)= 2(-2)^n/(n+1)$ di conseguenza:
$|a_{n+1}/a_n|= |2 (-2)^(n+1)/(n+2)* (n+1)/(2(-2)^n)|= |(-2 (n+1))/(n+2) |$

Pertanto il limite risulta essere uguale a 2, quindi il raggio di convergenza è $1/2$

Mi scuso per l'errore :(

gugo82
Non avevi nulla da riscattare.
Casomai bius88 avrebbe dovuto accorgersi da solo dell'errore (grave) che ha commesso...

bius88
allora per $x=-1$ abbiamo che $log 2\sum_{n=0}^oo (-1)^n *((-2)^(n)*2)/(n+1)$

$\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)$ = $|-4/(n+1)^(1/n)|$ =$|-4|$= $4$

per $x=1$ esce sempre $4$
dunque?

Grazie

salvozungri
bius88 il raggio di convergenza è $R= 1/2$ di conseguenza l'intervallo di convergenza è $(-1/2,1/2)$ devi controllare agli estremi cosa fa la serie.
quindi devi controllare per $x= -1/2$ e $x= 1/2$

Nota che se $x=-1/2$ allora la serie numerica da studiare è:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(-1)^(n+1)}{n+1}=\sum_{n=0}^\infty - \frac{1}{n+1} $ che diverge negativamente (perchè?)

mentre per $x= 1/2$ la serie numerica è
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n /(n+1) $ converge per il famoso criterio di....

bius88
ok....la la seconda converge per leibniz!
grazie

bius88
la serie per $x=-(1/2)$ facendo il limite ad $oo$ viene 0.....perchè diverge?

gugo82
"bius88":
la serie per $x=-(1/2)$ facendo il limite ad $oo$ viene 0.....perchè diverge?

Come dovresti ben sapere la condizione $a_n\to 0$ è solo necessaria alla convergenza di $\sum a_n$.

La serie che ottieni sostituendo $x=-1/2$ è proprio l'esempio classico di questo fatto... Se non la ricordi potresti aprire il tuo libro di Analisi, su cui sarà di certo spiegata.

bius88
si ora mi è venuta in mente....grazie Gugo82!

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