Raggio di convergenza

[etta.nico]

ciao,
sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare i raggi di convergenza di varie serie intere.
Però non sono sicura di trovare sempre la buona risposta.. qualcuno riesce a controllare/darmi indizi?

1) $ sum_(n) frac{n!}{(2n)!} x^n $
trovo per D'Alembert $ |frac{frac{(n+1)!}{(2n+1)!}}{frac{n!}{(2n)!}}|=|frac{n+1}{2n+1}| $ che tende a $frac{1}{2}$, quindi il raggio di convergenza è $2$.

2) $ sum_(n) ln n x^n$
e penso che il raggio di convergenza sia 1.

3) $ sum_(n) frac{sqrt(n) x^{2n}}{2^n+1} $
Provo a trovare il limite superiore della radice n-esima: $root(frac{sqrt(n)}{2^n +1})(n) = frac{root(n)(n+1)}{root(2^n+1)(n)}$ ma poi non so più come continuare...

4) $ sum_(n) frac{(1+i)^n z^{3n}}{n2^n} $
vedo che i punti nel piano complesso $(1+i)^n$ fanno una sorta di spirale al crescere di n, e penso che diverga.
Invece poi provo a considerare ${frac{1+i}{2}}^n$ e vedo che converge verso $0$ ed il punto più distante dall'origine ha distanza 1. Però poi c'è anche un $n$ da considerare, come si fa?

Per ora, mi fermo qua.. ringrazio chiunque mi aiuterà..

[theras]

Ciao!
Nel punto 3 ti sei bloccato perchè,ho la sensazione,hai scelto il metodo che portava ai conti più incasinati:
quello di D'Alambert,anche in quel caso,mi sembra più rapido..
Saluti dal web.

[Seneca1]

2) Che sensazione?

[theras]

Direi che ha ragione,A.:
$EElim_(n->oo)(log(n+1))/(logn)=lim_(n->oo)(logn+log(1+1/n))/(logn)=lim_(n->oo)[1+1/(logn)log(1+1/n)]=1$.
Saluti dal web.

[etta.nico]

"Seneca":2) Che sensazione?

nel senso che, a intuito, $lim_{n -> oo} frac{ln (n+1)}{ln n} =1 $ ma ora ho capito grazie a theras!

"theras":Ciao!
Nel punto 3 ti sei bloccato perchè,ho la sensazione,hai scelto il metodo che portava ai conti più incasinati:
quello di D'Alambert,anche in quel caso,mi sembra più rapido..
Saluti dal web.

grazie, ora trovo $|frac{frac{sqrt{n+1}}{2^{n+1}+1}}{frac{sqrt{n}}{2^n+1}}|=|sqrt{frac{n+1}{n}} frac{2^{n+1}+1}{2^n+1}|=|sqrt{frac{n+1}{n}} frac{2(2^n+1)}{2^n+1}-frac{1}{2^n+1}| -> 2 $ quindi il rqggio di convergenza é $frac{1}{2}$.

[gugo82]

"ettanic":ciao,
sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare i raggi di convergenza di varie serie intere.
Però non sono sicura di trovare sempre la buona risposta.. qualcuno riesce a controllare/darmi indizi?

1) $ sum_(n) frac{n!}{(2n)!} x^n $
trovo per D'Alembert $ |frac{frac{(n+1)!}{(2n+1)!}}{frac{n!}{(2n)!}}|=|frac{n+1}{2n+1}| $ che tende a $frac{1}{2}$, quindi il raggio di convergenza è $2$.

Occhio, che:
\[
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{(2(n+1))!}\ \frac{(2n)!}{n!} = \frac{(n+1)!}{(2n+2)!}\ \frac{(2n)!}{n!} = \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}\ldots
\]

[etta.nico]

"gugo82":[quote="ettanic"]ciao,
sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare i raggi di convergenza di varie serie intere.
Però non sono sicura di trovare sempre la buona risposta.. qualcuno riesce a controllare/darmi indizi?

1) $ sum_(n) frac{n!}{(2n)!} x^n $
trovo per D'Alembert $ |frac{frac{(n+1)!}{(2n+1)!}}{frac{n!}{(2n)!}}|=|frac{n+1}{2n+1}| $ che tende a $frac{1}{2}$, quindi il raggio di convergenza è $2$.

Occhio, che:
\[
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{(2(n+1))!}\ \frac{(2n)!}{n!} = \frac{(n+1)!}{(2n+2)!}\ \frac{(2n)!}{n!} = \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}\ldots
\][/quote]

giusto! che tonta che sono..
molte grazie!
è un esercizio giusto per allenarmi, ma mi fa ricordare a stare più attenta a non commettere questi errori..