Raggio di convergenza
salve ragazzi,
voglio calcolare il raggio di convergenza $ R $ della serie $ sum_(n =1)^{+oo} (x^n)/(log(n+1)) $ .
procedo con il criterio del rapporto: $ lim_{n->oo} (|x|^(n+1))/(log(n+2))*(log(n+1))/(|x|^n)=|x| $
quindi, da quello che ho capito studiando la teoria, essendo il limite uguale a $ |x| $ si conclude che $ R=1/|x| $ e converge assolutamente per $ |x|
riporto anche un altro esercizio per il quale vorrei una conferma della spiegazione dell'assoluta convergenza della: serie $ sum_(n =1)^{+oo} 1/n^2x^n $ converge assolutamente per $ x=-1 $ perchè $ sum_(n =1)^{+oo} 1/n^2|1^n|=sum_(n =1)^{+oo} 1/n^2 $ è la serie armonica generalizzata, che converge. quindi la serie di partenza converge assolutamente.
voglio calcolare il raggio di convergenza $ R $ della serie $ sum_(n =1)^{+oo} (x^n)/(log(n+1)) $ .
procedo con il criterio del rapporto: $ lim_{n->oo} (|x|^(n+1))/(log(n+2))*(log(n+1))/(|x|^n)=|x| $
quindi, da quello che ho capito studiando la teoria, essendo il limite uguale a $ |x| $ si conclude che $ R=1/|x| $ e converge assolutamente per $ |x|
riporto anche un altro esercizio per il quale vorrei una conferma della spiegazione dell'assoluta convergenza della: serie $ sum_(n =1)^{+oo} 1/n^2x^n $ converge assolutamente per $ x=-1 $ perchè $ sum_(n =1)^{+oo} 1/n^2|1^n|=sum_(n =1)^{+oo} 1/n^2 $ è la serie armonica generalizzata, che converge. quindi la serie di partenza converge assolutamente.
Risposte
Ciao itisscience,
No... Sono d'accordo che il risultato di quel limite è $|x| $
Cosa dice il criterio del rapporto? Che la serie proposta converge se il risultato del limite è...
Confermo l'assoluta convergenza della seconda serie che hai scritto per $x = \pm 1 $.
No... Sono d'accordo che il risultato di quel limite è $|x| $
Cosa dice il criterio del rapporto? Che la serie proposta converge se il risultato del limite è...
Confermo l'assoluta convergenza della seconda serie che hai scritto per $x = \pm 1 $.
effettivamente per il criterio del rapporto la serie converge per $ |x|<1 $
però è come se notassi una contraddizione:
prima, nella definizione di raggio di convergenza, ho letto che se $ R $ è un numero reale, allora la serie di potenze converge assolutamente per $ |x|
invece qui si trova che $ R=1/|x| $ e la serie converge, appunto per il criterio del rapporto, per $ |x|<1 $ e non converge assolutamente per $ |x|<1/(|x| $ . effettivamente quest'ultima espressione non ha molto senso.. però apprezzerei molto se riuscissi a farmi capire questa 'contraddizione'
però è come se notassi una contraddizione:
prima, nella definizione di raggio di convergenza, ho letto che se $ R $ è un numero reale, allora la serie di potenze converge assolutamente per $ |x|
invece qui si trova che $ R=1/|x| $ e la serie converge, appunto per il criterio del rapporto, per $ |x|<1 $ e non converge assolutamente per $ |x|<1/(|x| $ . effettivamente quest'ultima espressione non ha molto senso.. però apprezzerei molto se riuscissi a farmi capire questa 'contraddizione'
"itisscience":
effettivamente per il criterio del rapporto la serie converge per $|x|<1 $
Esatto, quindi hai ottenuto $|x| < R $, con $R = 1 $: il raggio di convergenza è $R = 1 $. Fine.
va bene, grazie
Questa questione è già stata risolta, ma volevo dare un "mia" risposta, sperando che sia utile.
Quando hai una serie di potenze, hai 2 modi di procedere, o usi la "forza bruta" o usi la teoria, per usare la forza bruta intendo trattare la serie come una serie numerica con parametro, senza supporre di conoscere la teoria delle serie di potenze (in particolare le proprietà del raggio di convergenza), ed è quello che hai fatto tu applicando il criterio del rapporto. L'altro modo è usare la teoria cercando cioè il raggio di convergenza, che è il reciproco del limite $\lim_{n->+\infty}log(n+1)/log(n+2)=1$ (NOTA l'assenza della $x$!).
Il motivo per cui di solito si procede cercando il raggio di convergenza è che la teoria ci permette di risparmiare la fatica avendola fatta una volta per tutte, ma di per sè non c'è niente di sbagliato non voler ricorrerci, però la cosa importante è non confondere le due opzioni mischiandole come hai fatto tu impostando il limite "con la $x$" e poi cercare il raggio di convergenza.
Quando hai una serie di potenze, hai 2 modi di procedere, o usi la "forza bruta" o usi la teoria, per usare la forza bruta intendo trattare la serie come una serie numerica con parametro, senza supporre di conoscere la teoria delle serie di potenze (in particolare le proprietà del raggio di convergenza), ed è quello che hai fatto tu applicando il criterio del rapporto. L'altro modo è usare la teoria cercando cioè il raggio di convergenza, che è il reciproco del limite $\lim_{n->+\infty}log(n+1)/log(n+2)=1$ (NOTA l'assenza della $x$!).
Il motivo per cui di solito si procede cercando il raggio di convergenza è che la teoria ci permette di risparmiare la fatica avendola fatta una volta per tutte, ma di per sè non c'è niente di sbagliato non voler ricorrerci, però la cosa importante è non confondere le due opzioni mischiandole come hai fatto tu impostando il limite "con la $x$" e poi cercare il raggio di convergenza.
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