Raggio di convergenza
III.2.5 Conway - Functions of One Complex Variable. Se \(|z|
\begin{split}
|a_{0}|+|a_{1}z|+|a_{2}z^{2}|+...
&=|a_{0}|+|a_{1}||z|+|a_{2}||z|^{2}+... \\
&=|a_{0}|+|z|(|a_{1}|+|a_{2}||z|+... ) \\
&<\infty
\end{split}
\]
allora anche \(|a_{0}|/z+(|a_{1}|+|a_{2}||z|+... )\) e \(|a_{1}|+|a_{2}||z|+... \) son minori di infinito e la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n}\) converge assolutamente, giusto? Il libro lo scrive in questo modo: img. Quel \(\cdot\) è un prodotto non un punto, altrimenti non avrebbe senso, no? Quindi il \(\leq\) è strettamente un \(=\). E' una domanda idiota, ma non riuscivo a capire e mi sono accorto solo scrivendo che probabilmente non è un punto.
\begin{split}
|a_{0}|+|a_{1}z|+|a_{2}z^{2}|+...
&=|a_{0}|+|a_{1}||z|+|a_{2}||z|^{2}+... \\
&=|a_{0}|+|z|(|a_{1}|+|a_{2}||z|+... ) \\
&<\infty
\end{split}
\]
allora anche \(|a_{0}|/z+(|a_{1}|+|a_{2}||z|+... )\) e \(|a_{1}|+|a_{2}||z|+... \) son minori di infinito e la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n}\) converge assolutamente, giusto? Il libro lo scrive in questo modo: img. Quel \(\cdot\) è un prodotto non un punto, altrimenti non avrebbe senso, no? Quindi il \(\leq\) è strettamente un \(=\). E' una domanda idiota, ma non riuscivo a capire e mi sono accorto solo scrivendo che probabilmente non è un punto.
Risposte
Il $\cdot$ è una moltiplicazione, ovviamente. Ma di quale $\ge$ parli? A me sembra che sia tutto corretto, dove vorresti sostituire $=$?
Il primo \(\leq\).
L'uguaglianza che scrivi tu, in maniera esplicita, è questa $\sum_{n=0}^\infty |a_n z^n|=|a_0|+|z|\cdot\sum_{n=0}^\infty |a_{n+1} z^n|$. Per cui sempre in termini di uguaglianze vale pure
$$\sum_{n=0}^\infty |a_{n+1} z^n|=\frac{1}{|z|}\left(\sum_{n=0}^\infty |a_n z^n|-|a_0|\right)$$
Ora riesci, da questa, a vedere da dove viene fuori quel $\le$?
$$\sum_{n=0}^\infty |a_{n+1} z^n|=\frac{1}{|z|}\left(\sum_{n=0}^\infty |a_n z^n|-|a_0|\right)$$
Ora riesci, da questa, a vedere da dove viene fuori quel $\le$?
Infatti è quello che ho detto. Strettamente parlando, \(\leq\) è un uguale. Comunque grazie, non vale la pena di insistere. Quando scrivendo mi sono accorto di avere capito avrei dovuto cancellare il messaggio.
"4mrkv":
Infatti è quello che ho detto. Strettamente parlando, \(\leq\) è un uguale. Comunque grazie, non vale la pena di insistere. Quando scrivendo mi sono accorto di avere capito avrei dovuto cancellare il messaggio.
Ma guarda che nella immagine c'è $+|a_0|$ non $-|a_0|$....
Grazie, hai ragione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo