Raggio convergenza serie di Laurent
Ciao ragazzi !
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
"Determinare lo sviluppo in Serie di Laurent della funzione $ f(z)= z/((z+1)(z+2)) $ attorno al punto $ z_0=-2 $
Una volta posto $ z+2 = u $ mi ritrovo a scrivere che alla fine la funzione
$ z/((z+1)(z+2))=2/u+1+u+u^2 +... =2/(z+2)+1+(z+2)+(z+2)^2+.. $
= $ 2/(z+2)-1/(z+1 $
Quindi alla fine mi dice che la serie converge per $ 0 <|z+2|<1 $
Ecco io non ho capito due cose.
1) Perchè alla fine la funzione ha questa espressione? $ 2/(z+2)-1/(z+1) $ Per quale motivo?
2) Non ho capito perchè ha quel raggio di convergenza.. me lo sapreste spiegare?
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
"Determinare lo sviluppo in Serie di Laurent della funzione $ f(z)= z/((z+1)(z+2)) $ attorno al punto $ z_0=-2 $
Una volta posto $ z+2 = u $ mi ritrovo a scrivere che alla fine la funzione
$ z/((z+1)(z+2))=2/u+1+u+u^2 +... =2/(z+2)+1+(z+2)+(z+2)^2+.. $
= $ 2/(z+2)-1/(z+1 $
Quindi alla fine mi dice che la serie converge per $ 0 <|z+2|<1 $
Ecco io non ho capito due cose.
1) Perchè alla fine la funzione ha questa espressione? $ 2/(z+2)-1/(z+1) $ Per quale motivo?
2) Non ho capito perchè ha quel raggio di convergenza.. me lo sapreste spiegare?
Risposte
$1+u+u^2+.......$ è una serie geometrica di ragione $u$ che converge per$|u|<1$ ed ha come somma $frac{1}{1-u}$
ah..... ok ! Fin qui ci sono... ma perchè dice converge per $ 0<|z+2|<1 $ ?
Come fa a dirlo?
Come fa a dirlo?
scusa ma ho detto che converge per $|u|<1$
u=z+2
se poi intendevi in un altro senso,è noto che la serie geometrica converge quando la ragione è in valore assoluto minore di 1
u=z+2
se poi intendevi in un altro senso,è noto che la serie geometrica converge quando la ragione è in valore assoluto minore di 1
nono ho capito! Ti ringrazio molto !
Volevo chiederti un'altra cosa che non ho capito...
Nel proseguimento dell'esercizio, mi dice di analizzare il caso $ |z|>3 $ e procede dicendo che $ 1/(2(z+3))=1/(2z)1/(1+3/z)=1/(2z)(1-3/z+9/z^2-27/z^3+....) $
= $ = 1/(2z)-3/(2z^2)+9/(2z^3)-27/(2z^4)+....) $
E poi alla fine mi dice che
$ f(z)= 1/z^2-4/z^3 + 13/z^4-... $
Come fa a fare l'ultimo passaggio? cioè dire che F(z) assume quel valore?
Nel proseguimento dell'esercizio, mi dice di analizzare il caso $ |z|>3 $ e procede dicendo che $ 1/(2(z+3))=1/(2z)1/(1+3/z)=1/(2z)(1-3/z+9/z^2-27/z^3+....) $
= $ = 1/(2z)-3/(2z^2)+9/(2z^3)-27/(2z^4)+....) $
E poi alla fine mi dice che
$ f(z)= 1/z^2-4/z^3 + 13/z^4-... $
Come fa a fare l'ultimo passaggio? cioè dire che F(z) assume quel valore?
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