Raggi di convergenza

[Toji1]

Salve a tutti. Avrei un problema col trovare i raggi di convergenza delle serie di potenze. Ho studiato per bene i criteri di convergenza della radice e del rapporto ma non riesco ad andare al di là degli esercizi più semplici.

Qualcuno può aiutarmi a capire come trovare il raggio di convergenza in due serie come queste:

1) $\sum_{n=0}^infty (sqrt(n)+1)/(n+2)*(x+5)^n$


2) $\sum_{n=0}^infty (n^3 -1)/(2n^3 +2)*(x-1)^n$

Ringrazi in anticipo chi mi aiuterà.

[gugo82]

Col criterio del rapporto non mi sembra difficile...

[Toji1]

Applicando il criterio del rapporto:

I serie:

$\lim_{n \to \infty} ((sqrt(n+1)+1)(n+2))/((sqrt(n)+1)(n+3))$
A sto riesco a capire se c'è un ulteriore passaggio o il limite è uguale a 1 e quindi il raggio è 1.

II serie:
Dovrebbe essere

$\lim_{n \to \infty} 2/2*(n^6+3n^5+3n^4+n^3+3n^2+3n)/(n^6+3n^5+3n^4+n^3-6n^2-6n-4) = 1$
quindi il raggio è anche in questo esercizio 1.

Cerco conferme grazie ancora

[gugo82]

Certo, i limiti ed i raggi di convergenza sono tutti pari ad $1$.

Quando riuscirai a farci un po' l'occhio lo capirai a volo.

[Toji1]

Ne ho svolti parecchi e sto iniziando a prenderci la mano ma dinnanzi a questa non so che fare...

$\sum_{n=1}^infty log(n^2+1)/n (x-3)^n

[gugo82]

Sempre $1$ viene.

Infatti (criterio del rapporto):

$(log((n+1)^2+1))/(n+1)*n/(log(n^2+1))=n/(n+1)*(2log n+log(1+2/n+2/n^2))/(2logn +log(1+1/n^2)) \to 1 \quad$.

[Toji1]

Grazie per la pazienza gugo ho capito