Radici reali funzione di terzo grado

[gasx95]

Ciao :)

Mi aiutereste con questo esercizio mostrandomi i vari passaggi ? Grazie mille !

[davi02]

L’esercizio è stabilire per quali valori del paramentro

[math]k[/math]

il polinomio

[math]2x^3 + 9x^2 - 24x + k[/math]

ammette tre radici reali (distinte).

Poni

[math]g(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x[/math]

e osserva che le radici del polinomio sono le soluzioni dell’equazione

[math]g(x) = -k[/math]

.
Si tratta allora di stabilire per quali valori del paramentro

[math]k[/math]

l’equazione

[math]g(x) = -k[/math]

ammette tre radici reali (distinite).
Questo lo si può decidere facendo uno studio completo del grafico di

[math]g(x)[/math]

.
I dati salienti sono che

a)

[math]g(x) \to -\infty[/math]

per

[math]x \to -\infty[/math]

b)

[math]g(x) \to +\infty[/math]

per

[math]x \to +\infty[/math]

c)

[math]g[/math]

è strettamente crescente in

[math]]-\infty, -4][/math]

d)

[math]g[/math]

è strettamente decrescente in

[math][-4, 1][/math]

e)

[math]g[/math]

è strettamente crescente in

[math][1, +\infty[[/math]

f)

[math]g(-4) = 112[/math]

g)

[math]g(1) = -13[/math]

Da queste informazioni si ricava che

[math]g(x) = -k[/math]

ammette tre radici reali distinte se e solo se

[math]-112 < k < 13[/math]

.