Radici reali equazione di 15-esimo grado

[chess71]

Quesito:

Determinare il numero di radici reali dell'equazione:
X^3 * (X^5 + X^3 +5 )^2 * (X^2 + π) = 0


Il primo fattore x^3 ha una sola radice reale, il terzo fattore (X^2+ π) nessuna radice reale
il secondo fattore (X^5 + X^3 +5 )^2 non riesco a scomporlo con Ruffini, quindi non so cosa dire

qualcuno sa aiutarmi?
grazie

[Sk_Anonymous]

Cadi a pennello. Ogni polinomio di grado dispari ha sempre almeno una radice reale, ne ho dato una prova proprio ieri sera qui. Si tratta di capire se anche le altre sono reali - mi riferisco a \(\displaystyle x^{5} + x^{3} +5 \).

[chess71]

è il punto dove mi sono arenato.
so che l'intero polinomio ha almeno 2 radici reali (una data dal primo fattore e l'altra dal secondo, rispettivamente con molteplicità 3 e 2); ma x^5+x^3+5 ha altre radici reali?
oltre Ruffini, quali altri strumenti posso utilizzare?

[Sk_Anonymous]

Credo che tu debba necessariamente affidarti ad uno studio di funzione.
Al momento non mi vengono in mente altre idee.

[Camillo]

Considera la funzione $y= x^5+x^3 +5 $ e fai un "piccolo" studio di funzione, calcolando $lim_(x rarr +oo ) y $ e anche $lim_(x rarr -oo) y $ infine la derivata prima .
Combinando opportunamente i risultati trovati otterrai la risposta alla tua domanda.

[chess71]

quindi siccome la funzione va da -infinito a +infinito, si dovrà annullare in un punto (radice reale)
e siccome la derivata prima è sempre positiva, la funzione cresce sempre, quindi la soluzione reale è unica

sbaglio?

[Camillo]

"chess71":quindi siccome la funzione va da -infinito a +infinito, si dovrà annullare in un punto (radice reale)[ non è detto sia un punto solo]
e siccome la derivata prima è sempre positiva, la funzione cresce sempre, quindi la soluzione reale è unica[ questo sì implica che il punto in cui la funzione si annulla sia uno solo]

sbaglio?

le mie osservazioni tra parentesi quadre.

[chess71]

ovviamente...

grazie veramente