Radici quarte di: -81

[impeddone]

ciao, per cortesia nell'ambito dell'algebra lineare, nei numeri complessi quali sono le radici quarte di: -81

grazie

[Sk_Anonymous]

...esattamente 3 volte le radici quarte di -1.

[Sk_Anonymous]

Completo la mia risposta calcolando le radici quarte di $-1$. Può porsi $-1 = e^{-i\pi}$. Pertanto, se $\omega\in \mathbb{C}$ è tale che $\omega^4 = -1$, allora $\omega = exp(i \frac{(2k-1)\pi}{4})$, per qualche $k = 0, 1, 2, 3$ (teorema della radice). Da qui $\omega = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 \pm i)$ oppure $\omega = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1 \pm i)$.

[K2]

+i9 e -i9

[Nidhogg]

"QuantumGravity":+i9 e -i9

Qui si parla di radici quarte non quadrate!

[K2]

scrivo le soluzioni in forma geometrica [r,a]
[r,a]=[3,(1/4)pi]
[3,(3/4)pi]
[3,(5/4)pi]
[3,(7/4)pi]
dove con pi ho inteso pi_grego.
Per scrivere le soluzioni in coordinate (x,y) nel piano complesso si usa: x=r*cos(a) ed y=r*sin(a).

[leev]

mi direste cosa enuncia esattamente 'il teorema della radice' ?

grazie

[cavallipurosangue]

In generale se $z\inCC:z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, si ha che:
$z_k^{1/n}=\rho^{1/n}(\cos({\theta+2kpi}/n)+i\sin({\theta+2kpi}/n))|k\inNN, 0\lek\len-1$

[giuseppe87x]

Ciò significa ovviamente che le radici $n-esime$ di un numero complesso $z$ sono esattamente $n$ e formano nel piano di Gauss i vertici di un poligono regolare di $n$ lati con centro nell'origine.
Si noti anche che il fattore $rho^(1/n)$ nell'equazione di cavallipurosangue indica la radice $n-esima$ reale, unica, di $rho$.

[aleio11]

Ma non era più semplice fare questo ragionamento?

1) x^4=-81
2)Poniamo y=x^2
3)Percui si ha y^2=-81
4)Ovvero y=sqrt(-81)
5)y=+9i e -9i
6)Quindi x^2=+9i => x=sqrt(9i) =>(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2) e (3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)
7)Ed infine x^2=-9i => x=sqrt(-9i) =>-(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2) e -(3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)
8)In ultima analisi abbiamo:
x*=(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2)
x**=(3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)
x***=-(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2)
x****=-(3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)

[Sk_Anonymous]

"aleio1":Ma non era più semplice fare questo ragionamento?

1) x^4=-81
2)Poniamo y=x^2
3)Percui si ha y^2=-81
4)Ovvero y=sqrt(-81)
5)y=+9i e -9i
6)Quindi x^2=+9i => x=sqrt(9i) =>(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2) e (3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)
7)Ed infine x^2=-9i => x=sqrt(-9i) =>-(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2) e -(3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)
8)In ultima analisi abbiamo:
x*=(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2)
x**=(3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)
x***=-(3(sqrt(2))/2+3(sqrt(2))/2)
x****=-(3(sqrt(2))/2-3(sqrt(2))/2)

Senza dubbio più semplice!!!