Radici polinomio

[ElCastigador]

Dimostrare o smentire la seguente affermazione:

E' dispari il numero delle eventuali radici di un polinomio in R di grado dispari

Come lo posso dimostrare?

[Frink1]

Siccome in $CC$ si hanno tante soluzioni quanto è il grado, e siccome se una radice è complessa, un'altra radice sarà il suo coniugato...

[ElCastigador]

Si parla solo di R nella traccia non credo posso usare C

[Plepp]

Mmmh...puoi provare ad andare per induzione sul grado del polinomio, tenendo presente che un polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una radice (cosa che puoi dimostrare facilmente se hai a disposizione il teorema di Bolzano).

[ElCastigador]

Gentilmente potresti farmi vedere come procedere con l'induzione?

[Plepp]

Come ti dicevo, ti serve sapere innanzitutto che un polinomio di grado dispari ha almeno una radice: prova a dimostrarlo con metodi di Analisi 1, è molto semplice.

Dopodiché, chiama $2n+1$ il grado del polinomio e vai per induzione su $n$. Se $n=0$ c'è poco da dire. Supponi quindi che ogni polinomio di grado $2(n-1)+1=2n-1$ abbia radici in numero dispari e considera un polinomio $P(x)$ di grado $2n+1$.

Metto il resto in spoiler

Essendo $P(x)$ di grado dispari, esso ha almeno una radice - diciamola $a$ - quindi si fattorizza come
\[P(x)=(x-a)Q(x)\]
con $Q(x)$ polinomio di grado $2n$. A questo punto possono presentarsi due eventualità:

[*:1n9e08sf]$Q(x)$ è privo di radici. In tal caso $a$ è l'unica radice di $P(x)$;[/*:m:1n9e08sf]
[*:1n9e08sf]$Q(x)$ ha una radice $b$. Allora si ha
\[Q(x)=(x-b)R(x)\qquad P(x)=(x-a)(x-b)R(x)\]
con $R(x)$ polinomio di grado $2n-1=2(n-1)+1$: per ipotesi induttiva, $R(x)$ ha un numero $N$ dispari di radici, quindi $P(x)$ ha esattamente $N+2$ (dispari) radici. [/*:m:1n9e08sf][/list:u:1n9e08sf]