Radici equazione complessa 2

[Ciome]

Buondì.

Mi sono trovato all'esame questo esercizio (che però sul libro non c'è):

$(x+2i)^3 = 8(x-i)^3$

come si risolve? Mi interessa più il metodo generale che ne la soluzione del caso specifico, anche se quest'ultima potrebbe aiutare nella comprensione.

[anto_zoolander]

intanto certamente è

$(x+2i)^3-(2x-2i)^3=0$

$(x+2i)-(2x-2i))((x+2i)^2+(x+2i)(2x-2i)+(2x-2i)^2)=0$

quei due cubi altro non sono che un prodotto notevole.
Poi si utilizza la legge di annullamento del prodotto:

$x+2i=2x-2i <=> x=4i$

che è la prima soluzione

$x^2+4ix-4+2x^2-2ix+4x i+4+4x^2-8ix-4=0$

$7x^2-2ix-4=0$ che è una semplice equazione di secondo grado.

$x=(ipm3sqrt(3))/7$

che sono le seconde soluzioni,

dunque ${(x_1=4i),(x_2=(i+3sqrt(3))/7),(x_3=(i-3sqrt(3))/7):}$

Con i polinomi non esiste un metodo generale, devi semplicemente capire cosa stai facendo. E' una equazione nel campo complesso, dove si desidera trovare l'intersezione tra due curve.

nota che le funzioni sono $f:RR->CC$ quindi sono di variabile reale.

[Ciome]

non capisco come possano essere "di variabile reale" quando hanno una componente immaginaria...

[anto_zoolander]

Si infatti l'ultimo pezzo me lo sarò sognato.

[Ciome]

C'erano anche altri modi per risolverlo?

[andar9896]

Partendo da $(x+2i)^3=(2x-2i)^3$ potevamo dedurre che $x+2i=2x-2i rarr x=4i$ che è dunque divisore del polinomio che si ottiene portando tutto al primo membro... dunque si poteva continuare facendo la divisione per $(x-4i)$ ecc. Ti faccio però notare che questo metodo è quasi identico a quello di anto (e infatti quella formula si dimostra così), ma può esserti utile se non ricordi la formula del prodotto notevole, cosa che può capitare

[Ciome]

edit: forse ho capito

riedit: si chiaro. ma infatti prima di oggi questa roba non si era mai vista a lezione, non ha mai fatto una roba simile e non ha mai parlato di prodotti notevoli. Oltretutto quest'anno non ha pubblicato la correzione....

[axpgn]

Premesso che i prodotti notevoli si fanno in prima superiore, si può risolvere sviluppando i cubi, sostituendo $x$ con $a+ib$ ed eguagliando parte reale con parte reale e immaginaria con immaginaria, due equazioni per due incognite ... meno elegante e più lungo ma "scolastico" ...

[Ciome]

"axpgn":Premesso che i prodotti notevoli si fanno in prima superiore, si può risolvere sviluppando i cubi, sostituendo $x$ con $a+ib$ ed eguagliando parte reale con parte reale e immaginaria con immaginaria, due equazioni per due incognite ... meno elegante e più lungo ma "scolastico" ...

Grazie per l'ulteriore possibile metodo.

Sono sicuro che non serve che ve lo dica ma io odio questa materia. Non conosco tutte le basi, semplicemente perchè spero di passarla e mandarla al diavolo. Io ho studiato ciò che il prof ha spiegato in classe, per cui se non ha mai fatto menzione di prodotti notevoli per risolvere i suoi esercizi, insegnando sempre metodi "scolastici", io i prodotti non li ho presi in considerazione.

Va poi anche detto che, per quel che ne capisco, l'eleganza è per me un fattore irrilevante. Ciò che mi interessa è la... intuitività del metodo (in pratica, quanto è semplice e meccanico pur rimanendo efficace nella generalità dei casi). E' ovvio che un metodo simile non potrà mai essere il più veloce sempre, ma, appunto, io devo passare un esame e fine.

[axpgn]

Capisco, però scusami la pedanteria, ribadisco che i prodotti notevoli si fanno in prima superiore e sono qualcosa di fondamentale per manipolare le espressioni algebriche e non conoscerli ti rende la vita molto difficile ...