Radici e Punti Fissi
Ciao a tutti,
mi chiedevo: mediante il teorema di Banach-Caccioppoli è possibile trovare un'approssimazione per qualsiasi radice di un numero naturale, ovvero usare il metodo delle approssimazioni successive che però utilizzi solo numeri razionali?
Il problema è fissato $IsubRR,n,m in NN,n^(1/m)inI$ dovrei trovare una contrazione $f:I->RR,x->f(x)$ in $n^(1/m)$: $f(n^(1/m))=n^(1/m)$.
Solo che i metodi che conosco per trovare $f$ utilizzano tecniche di interpolazione (polinomiale), ergo spuntano sempre fuori dei numeri reali non razionali.
Qualche idea ?
mi chiedevo: mediante il teorema di Banach-Caccioppoli è possibile trovare un'approssimazione per qualsiasi radice di un numero naturale, ovvero usare il metodo delle approssimazioni successive che però utilizzi solo numeri razionali?
Il problema è fissato $IsubRR,n,m in NN,n^(1/m)inI$ dovrei trovare una contrazione $f:I->RR,x->f(x)$ in $n^(1/m)$: $f(n^(1/m))=n^(1/m)$.
Solo che i metodi che conosco per trovare $f$ utilizzano tecniche di interpolazione (polinomiale), ergo spuntano sempre fuori dei numeri reali non razionali.
Qualche idea ?
Risposte
Ma se \(f\) è definita sui naturali come speri di poter calcolare \(f(n^{1/m})\)?
Sorry avevo pasticciato un po' con i nomi.
Ora dovrebbe andare bene.
Ora dovrebbe andare bene.
Stando così le cose, mi sembra che almeno uno dei due naturali \(n\) ed \(m\) deve essere un parametro fissato... Quale dei due?
Oppure vuoi che \(f\) si riduca all'identità quando ristretta all'insieme infinito \(\{ n^{1/m}\}_{n,m\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}\)?
Oppure vuoi che \(f\) si riduca all'identità quando ristretta all'insieme infinito \(\{ n^{1/m}\}_{n,m\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}\)?
Per me sono fissati entrambi.
So approssimare con questo metodo se $n=m=2 -> n^(1/m) = sqrt(2)$.
Infatti posso scegliere $f:[1,2]->RR,x->1+1/(x+1)$ e nell'utilizzo delle approssimazioni successive non spuntano reali non razionali.
Per $sqrt(3)$, etc..etc.. è possibile fare una cosa simile?
So approssimare con questo metodo se $n=m=2 -> n^(1/m) = sqrt(2)$.
Infatti posso scegliere $f:[1,2]->RR,x->1+1/(x+1)$ e nell'utilizzo delle approssimazioni successive non spuntano reali non razionali.
Per $sqrt(3)$, etc..etc.. è possibile fare una cosa simile?
Allora non ho capito quale sia il problema.
Cioé, tu vuoi sapere se esiste una contrazione tale che \(f(x_0)=x_0\) per un unico \(x\) fissato "a priori" (e.g., \(x_0=n^{1/m}\) )?
Se è così, la risposta è banalissima: certo che esiste. Basta prendere \(f(x)=\theta\ (x-x_0) +x_0\) con \(|\theta| <1\).
Altrimenti, cerca di chiarire meglio i contorni del problema.
Cioé, tu vuoi sapere se esiste una contrazione tale che \(f(x_0)=x_0\) per un unico \(x\) fissato "a priori" (e.g., \(x_0=n^{1/m}\) )?
Se è così, la risposta è banalissima: certo che esiste. Basta prendere \(f(x)=\theta\ (x-x_0) +x_0\) con \(|\theta| <1\).
Altrimenti, cerca di chiarire meglio i contorni del problema.
La richiesta aggiuntiva è che se $a,b in RR$ $a
$f(a),f(f(a)),...inQQ$
Ovvero: voglio approssimare un numero reale non razionale solo mediante numeri razionali.
$f(a),f(f(a)),...inQQ$
Ovvero: voglio approssimare un numero reale non razionale solo mediante numeri razionali.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo