Radici di $x^3+px+1$ al variare di $p$ in $RR$
Esercizio. Studiando la monotonia di $f(x)=x^3+px+1$ con $p in RR$, determinare al variare del parametro, esistenza e numero di soluzioni reali di $x^3+px+1=0$.
Soluzione. Anzitutto, noto che, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione avrà sempre almeno una soluzione reale, $forall p in RR$ (questo si può giustificare anche in altri modi, ad esempio osservando che i limiti a $-oo$ e $+oo$ sono discordi; quindi per il teorema di permanenza del segno ... e si conclude con il teorema degli zeri).
In ogni caso, l'esistenza di una soluzione reale è garantita. Proseguiamo.
Noto che, se $p=0$, ho una sola soluzione reale, precisamente $x=-1$.
Sia ora $p>0$.
$f'(x)=3x^2+p$. Risulta, se $p>0$, $f'(x)>0$. Dunque $f$ è strettamente crescente. Quindi $f$ è iniettiva. Perciò, se $p>=0$ l'equazione ha una e una sola radice reale.
Sia ora $p<0$. In questo caso, troviamo due punti critici, un massimo e un minimo relativi. Rispettivamente, $M(-sqrt(-p/3); " " -2/3psqrt(-p/3)+1)$ e $m(sqrt(-p/3); " " 2/3psqrt(-p/3)+1)$.
Ora bisogna considerare il segno delle ordinate di questi punti.
Ad esempio, $y_m>0$ se $p>3/root(3)(4)$, e $y_m<0$ in caso contrario. Io però qui sono nel caso $p<0$. Come può quindi essere $p>3/root(3)(4)$?
Inoltre, se $p=3/root(3)(4)$ avrei un punto stazionario sull'asse $x$, quindi un punto a tangente orizzontale: due soluzioni coincidenti, quindi. Ma come può essere ciò se sono nel caso $p<0$?
Scusatemi, probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma non capisco come chiudere il tutto. Grazie in anticipo.
Soluzione. Anzitutto, noto che, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione avrà sempre almeno una soluzione reale, $forall p in RR$ (questo si può giustificare anche in altri modi, ad esempio osservando che i limiti a $-oo$ e $+oo$ sono discordi; quindi per il teorema di permanenza del segno ... e si conclude con il teorema degli zeri).
In ogni caso, l'esistenza di una soluzione reale è garantita. Proseguiamo.
Noto che, se $p=0$, ho una sola soluzione reale, precisamente $x=-1$.
Sia ora $p>0$.
$f'(x)=3x^2+p$. Risulta, se $p>0$, $f'(x)>0$. Dunque $f$ è strettamente crescente. Quindi $f$ è iniettiva. Perciò, se $p>=0$ l'equazione ha una e una sola radice reale.
Sia ora $p<0$. In questo caso, troviamo due punti critici, un massimo e un minimo relativi. Rispettivamente, $M(-sqrt(-p/3); " " -2/3psqrt(-p/3)+1)$ e $m(sqrt(-p/3); " " 2/3psqrt(-p/3)+1)$.
Ora bisogna considerare il segno delle ordinate di questi punti.
Ad esempio, $y_m>0$ se $p>3/root(3)(4)$, e $y_m<0$ in caso contrario. Io però qui sono nel caso $p<0$. Come può quindi essere $p>3/root(3)(4)$?
Inoltre, se $p=3/root(3)(4)$ avrei un punto stazionario sull'asse $x$, quindi un punto a tangente orizzontale: due soluzioni coincidenti, quindi. Ma come può essere ciò se sono nel caso $p<0$?
Scusatemi, probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma non capisco come chiudere il tutto. Grazie in anticipo.
Risposte
Sì, ti stai proprio perdendo in un bicchiere d'acqua.
Ti consiglio analizzare il caso in cui p è negativo facendo un semplice cambiamento di variabile ponendo $p=-a$ e risolvendo l'esercizio per $a>0$, elevando a potenza ti sei perso il segno di p che risulta $-3/(root3 4)$
Ti consiglio analizzare il caso in cui p è negativo facendo un semplice cambiamento di variabile ponendo $p=-a$ e risolvendo l'esercizio per $a>0$, elevando a potenza ti sei perso il segno di p che risulta $-3/(root3 4)$
"@melia":
Sì, ti stai proprio perdendo in un bicchiere d'acqua.
eeeeeeh, lo sapevo
"@melia":
Ti consiglio analizzare il caso in cui p è negativo facendo un semplice cambiamento di variabile ponendo $p=-a$ e risolvendo l'esercizio per $a>0$, elevando a potenza ti sei perso il segno di p che risulta $-3/(root3 4)$
Sì, è vero che stupido. Viene $a^3<27/4$ da cui viene il meno per il $p$. Ok.
Ricapitoliamo:
$y_m>0 <=> -3/root(3)(4)
Quindi, se $p=-3/root(3)(4)$ ho tre soluzioni, di cui due coincidenti, no? Questo però è in parziale disaccordo con le soluzioni del libro, che dice che per $p>3/root(3)(4)$ (positivo) l'equazione ha tre soluzioni. Ho sbagliato qualcosa?
Adesso però che cosa mi conviene studiare? Devo considerare solo il caso in cui il max è positivo, il min negativo, no? Può accadere altro?
Scusatemi ma sono particolarmente fuso...
Grazie.
I casi da controllare sono appunto quelli che hai indicato tu, e non ce ne sono altri.
Forse il fatto che il testo esatto fosse $f(x)=x^3-px+1 $?
"Paolo90":
Questo però è in parziale disaccordo con le soluzioni del libro, che dice che per $p>3/root(3)(4)$ (positivo) l'equazione ha tre soluzioni. Ho sbagliato qualcosa?
Forse il fatto che il testo esatto fosse $f(x)=x^3-px+1 $?
Ne ho parlato oggi con qualche collega, ed effettivamente i segni non tornano. Probabilmente sarà un errore di stampa, nulla di grave. Grazie comunque per l'aiuto.
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