Radici di un'equazione complessa (svolgimento corretto?)

[Kemix1]

Ciao,
ho un esercizio sui numeri complessi di cui non sono molto sicuro riguardo la correttezza dello svolgimento.
Mi chiede di rappresentare in forma trigonometrica le radici della seguente espressione complessa:
$z^6-iz^3-1=0$
Ho ragionato così:
Posto $w=z^3$
Trovo le radici di quella che è diventata un'equazione di secondo grado, che riporto in forma trigonometrica:
$w_1=-sqrt(3)/2+1/2i=[1,-pi/3]$
$w_2=sqrt(3)/2+1/2i=[1,pi/3]$
Ora devo calcolare la radice terza di questi due per avere le soluzioni di z. Usando questa formula:
$z=[(rho_w)^(1/3), (vartheta_w + 2k pi)/3]$

Ho ottenuto:
$z_(1_(k))=[1, (-pi/3+2kpi)/3]_(k=0,..,2)$
$z_(2_k)=[1, (pi/3+2kpi)/3]_(k=0,..,2)$

Quello che mi lascia perplesso è proprio la scrittura finale. Suppongo di dover giungere ad un risultato in cui k vada da 0 a 5 e non due risultati separati da 0 a 2.
Lo svolgimento è giusto o sbagliato?
Grazie in anticipo!

[axpgn]

C'è differenza tra $(2pi)/3$ e $(8pi)/3$ ?

[Kemix1]

"axpgn":C'è differenza tra $(2pi)/3$ e $(8pi)/3$ ?

Chiaramente no ma ancora non ti seguo.

[axpgn]

$(2*0*pi)/3=(2*3*pi)/3=(2*6*pi)/3=...$

$(2*1*pi)/3=(2*4*pi)/3=(2*7*pi)/3=...$

$(2*2*pi)/3=(2*5*pi)/3=(2*8*pi)/3=...$

Sono solo tre gli "angoli" diversi poi si ripetono ... spero sia questo il tuo dubbio ...

[Kemix1]

"axpgn":$(2*0*pi)/3=(2*3*pi)/3=(2*6*pi)/3=...$

$(2*1*pi)/3=(2*4*pi)/3=(2*7*pi)/3=...$

$(2*2*pi)/3=(2*5*pi)/3=(2*8*pi)/3=...$

Sono solo tre gli "angoli" diversi poi si ripetono ... spero sia questo il tuo dubbio ...

No allora...io so che le radici n-esime di un numero complesso sono n. Ora, l'equazione era di sesto grado, quindi è plausibile che io abbia trovato 6 risultati distinti. Tuttavia, è come se avessi trovato tre radici di $z_1$ e tre radici di $z_2$ ma non 6 radici di un unico complesso...e questa cosa non mi convince.
Grazie dell'aiuto...spero solo di essermi spiegato

[axpgn]

No, che c'entra? Tu hai trovato le sei radici di $z$. Punto. Hai semplicemente usato una tecnica matematica che utilizza una variabile ausiliaria, come capita spesso tra l'altro ...
Se non sei convinto ti basta sostituire le soluzioni trovate nell'equazione ...