Radici di un polinomio complesso???
salve sto avendo difficoltà a trovare le radici dei polinomi complessi, bisogna truvare le radici con la forma p^1/n(cosnteta+isinnteta) o bisogna trovare semplicemente i valori della z? tipo mi aiutate a svolgere questo esercizio? z^8-1?
Risposte
\[ z^8 - 1 = 0 \]
Per il teorema fondamentale dell'algebra, questa equazione avrà 8 radici distinte. Agiamo in questo modo:
\[ z^4 = t \implies t^2 - 1 = 0 \]
Le radici di $ t^2 - 1 = 0$ sono $ t= \pm 1 $, cioè $z^4 = \pm 1$.
Ora poniamo
\[ z^2 = \lambda \implies \lambda^2 = \pm 1 \]
le cui radici sono $ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = \i, \lambda_4 = - i $.
Da cui,
\[ z_1 = 1, \ z_2 = -1, \ z_3 = i, \ z_4 = - i, \ z_5 = \sqrt{i}, \ z_6 = - \sqrt{i}, \ z_7 = \sqrt{- i}, \ z_8 = - \sqrt{- i} \]
Per il teorema fondamentale dell'algebra, questa equazione avrà 8 radici distinte. Agiamo in questo modo:
\[ z^4 = t \implies t^2 - 1 = 0 \]
Le radici di $ t^2 - 1 = 0$ sono $ t= \pm 1 $, cioè $z^4 = \pm 1$.
Ora poniamo
\[ z^2 = \lambda \implies \lambda^2 = \pm 1 \]
le cui radici sono $ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = \i, \lambda_4 = - i $.
Da cui,
\[ z_1 = 1, \ z_2 = -1, \ z_3 = i, \ z_4 = - i, \ z_5 = \sqrt{i}, \ z_6 = - \sqrt{i}, \ z_7 = \sqrt{- i}, \ z_8 = - \sqrt{- i} \]
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